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菜菜的深度学习笔记 | 基于Python的理论与实现

文章目录

• • 
    （一）Affine层
    
  • 
    （二）Softmax层
    
  • 
    （三）误差反向传播法的实现
    
  • • 
      1.神经网络的全貌
      
    • 
      2.手撕两层网络
      

（一）Affine层

神经网络中矩阵的乘积运算中

对应维度的元素个数要保持一致

神经网络的正向传播中进行的矩阵的乘积运算在几何学领域被称为“

仿射变换

”，因此这里将进行仿射变换的处理实现为“Affine层”。

按矩阵的各个元素进行计算时，步骤和以标量为对象的计算图相同。

下图是

批版本的Affine层

：

class Affine:
    def __init__(self,W,b):
        self.W = W
        self.b = b
        self.x = None
        self.dW = None
        self.db = None
        
    def forward(self,x):
        self.x = x
        out = np.dot(x,self.W) + self.b
        
        return out
    
    def backward(self,dout):
        dx = np.dot(dout,self.W.T)
        self.dW = np.dot(self.x.T,dout)
        self.db = np.sum(sout,axis=0)
        return dx

（二）Softmax层

Softmax-with-Loss层位于

输出层

，softmax函数会将输入值

正规化

后在输出。

神经网络中进行的处理有

推理

和

学习

两个阶段，神经网络的推理通常不使用Softmax层，神经网络中未被正规化的输出结果被称为“得分”，此时只对得分最大值感兴趣，不过在学习阶段时需要softmax层。

神经网络的反向传播会将softmax层的输出与监督数据的差分表示的误差传递给前面的层

，这是神经网络中的重要性质。

神经网络的目的就是

通过调整权重参数，使神经网络的输出接近监督标签。

使用交叉熵误差作为softmax函数的损失函数后，反向传播得到（y1-t1）这种形式的“漂亮”的结果，

使用“平方和误差”作为“恒等函数”的损失函数，反向传播才能得到这样的结果。

class SoftmaxWithLoss:
    def __init__(self):
        self.loss = None
        self.y = None
        self.t = None
        
    def forward(self,x,t):
        self.t = t
        self.y = softmax(x)
        self.loss = cross_entropy_error(self.y,self.t)
        return self.loss
    
    def backward(self,dout=1):
        batch_size = self.t.shape[0]
        dx = (self.y - self.t) / batch_size
        return dx

（三）误差反向传播法的实现

1.神经网络的全貌


前提

：神经网络有合适的权重和偏置，调整权重和偏置以便拟合训练数据的过程称为学习，分为以下四步骤。

1. 
   步骤1（mini-batch）
   

   从训练数据中随机选择一部分数据

2. 
   步骤2（计算梯度）
   

   计算损失函数关于各个权重参数的梯度

3. 
   步骤3（更新参数）
   

   将权重参数沿梯度方向进行微小的更新

4. 
   步骤4（重复）
   

   重复步骤1-3

2.手撕两层网络

import sys,os
sys.path.append(os.pardir)
import numpy as np
from common.layers import *
from common.gradient import numerical_gradient
from collections import OrderedDict

class TwoLayerNet:
    def __init__(self,input_size,hidden_size,output_size,weight_init_std = 0.01):
        self.params = {}
        self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size,hidden_size)
        self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)
        self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size,output_size)
        self.params['b2'] = np.zeros(output_size)
        
        #create layer
        self.layers = OrderedDict()
        self.layers['Affine1'] = Affine(self.params['W1'], self.params['b1'])
        self.layers['Relu1'] = Relu()
        self.layers['Affine2'] = Affine(self.params['W2'], self.params['b2'])
        self.lastLayer = SoftmaxWithLoss()
        
    def predict(self,x):
        for layer in self.layers.values():
            x = layer.forward(x)
        return x
    
    # x:input_data, t:monitoring data
    def loss(self,x,t):
        y = self.predict(x)
        return self.lastLayer.forward(y, t)
    
    def accuracy(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        y = np.argmax(y,axies = 1)
        if t.ndim != 1:
            t = np.argmax(t, axis = 1)
        accuracy = np.sum(y==t) / float(x,shape[0])
        return accuracy
    
    def numerical_gradient(self, x, t):
        loss_W = lambda W:self.loss(x,t)
        grads = {}
        grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])
        grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
        grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])
        grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])
        return grads
    
    def gradient(self, x, t):
        #forward
        self.loss(x, t)
        
        #backward
        dout = 1
        dout = self.lastLayer.backward(dout)
        
        layers = list(self.layers.values())
        layers.reverse()
        for layer in layers:
            dout = layer.backward(dout)
        
        #set
        grads = {}
        grads['W1'] = self.layers['Affine1'].dW
        grads['b1'] = self.layers['Affine1'].db
        grads['W2'] = self.layers['Affine2'].dW
        grads['b2'] = self.layers['Affine2'].db
        
        return grads

自己动手敲一遍效果比看十遍还要好！

下面看一段

微分求导法

与

反向传播法

的比较：

import sys, os
sys.path.append(os.pardir)
import numpy as np
from dataset.mnist import load_mnist
from twolayernet import TwoLayerNet

(x_train, t_train),(x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label= True)
network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)
x_batch = x_train[:3]
t_batch = t_train[:3]

grad_numerical  = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)
grad_backprop = network.gradient(x_batch , t_batch)

for key in grad_numerical.keys():
    diff = np.average(np.abs(grad_backprop[key] - grad_numerical[key]))
    print(key+":"+str(diff))

W1:4.328233887775118e-10
b1:2.8681047496166956e-09
W2:6.111598311388141e-09
b2:1.3957577380263598e-07

可以看出数值微分和误差反向传播法求出的梯度

差非常小

。

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