【数字基带传输】误码率的分析方法（BER Performance）

简介

空间中的信号经过采样量化编码后变成形如0101的比特流，然后在微处理器中进行进一步的信源编码以及信道编码后，仍然是形如0101的比特流。这时候通信系统为了发送和接收信息，会进行

数字基带调制（Digital Modulation）

和

模拟调制（Analogue Modulation）

，前者在一定程度上更高效地利用了频谱资源，提升了码率，而后者使信号更加舒服地在信道（介质Medium）中传输。然而，在传输的过程中，由于

加性高斯白噪声（AWGN:Additive White Gaussian Noise）

以及

衰落信道

的影响，接收机有时候会做出“误判”的决定，也就是有时候明明发的是0，接收端却以为是1。而不同的调制技术，其出错的概率是不一样的。本篇文章将讲解分析各种调制技术的

误码率（SER: Symbol Error Rate）

和

误比特率（BER: Bit Error Rate）

的基本方法。

简介

一、前置知识

1.1 功率谱密度（Power Spectrum Density）

1.1.1 自相关函数（Autocorrelation Function）

1.1.2 平稳信号（Stationary Signal）

1.3 贝叶斯定理（Bayes’ Theorem）

1.3.1 条件概率（Conditional Probability）

1.3.2 全概率公式（Total Probablity）

2.5.1 最大后验概率准则（MAP: Maximum a Prosterior Criterion）

2.5.2 判决条件

2.5.3 误码率计算

2.5.4 最佳接收机的误码率计算【重要】

一、前置知识

由于从这一块起，我们会需要很多前置知识，比如功率谱密度，匹配滤波器，最大后验概率准则等，所以我们先对这些知识进行讲解。如若需要更加深入且完整的了解，可以看李晓峰教授的

通信原理

以及

随机信号分析

。

1.1 功率谱密度（Power Spectrum Density）

这一小节的知识主要会用于匹配滤波器的推导以及后续的最佳接收机的BER Performance 分析

1.1.1 自相关函数（Autocorrelation Function）

信号
$\begin{Bmatrix} {X(t),t\in T} \end{Bmatrix}$
的自相关函数
$R(t_1,t_2)$
是表示
$X(t)$
在任意两个时刻 t1，t2 上取值，这两个取值之间的

关联程度

，其计算式为：（两种意思一样）

$R(t_1.t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]$

$R(t+\tau ,t)=E[X(t+\tau )X(t)]$

1.1.2 平稳信号（Stationary Signal）

平稳信号的简单理解就是，

统计特性不随时间变化的信号

。所以有如下两个性质：

1. 均值和时间无关，是一个常数：
$E[X(t)]=m$
， m为任意常数

2. 自相关函数与两时间参量的绝对位置无关，即：
$R(t+\tau ,t)=R(\tau )$

1.1.3 平稳信号的功率谱密度

我们通常更关注平稳信号的功率谱密度，而根据维纳-辛钦定理（Wiener-Khintchine），平稳随机信号的功率谱密度
$S(\omega)$
是其自相关函数
$R(\tau )$
的傅里叶变换：

$F\begin{Bmatrix} R(\tau ) \end{Bmatrix} = S(\omega )$

而功率谱密度代表以下重要的两点:

1.
$S_X(\omega )$
沿着数字角频率
$\omega$
轴的“总和”是信号的平均功率

2. 如果在某个数字角频率
$\omega _0$
的
$S_X(\omega _0)$
比较大，这说明该信号中含有较多的
$\omega _0$
频率分量。

1.1.4 高斯白噪声的定义

前面的铺垫都是为了AWGN的定义，首先，AWGN是平稳的，它是及其理想的，代表着信号“随机性”的一种极限。有如下性质：

1. AWGN的自相关函数恒有：
$R_N (\tau )=\frac{N_0}{2}\delta (\tau )$

2. AWGN的功率谱密度有：
$S_N(\omega )=\frac{N_0}{2}$

它们分别长这样：

可见，

高斯白噪声的功率谱密度是恒定值的。这也就意味着，高斯白噪声在各个频率的噪声分量都是一样的

。

而又因为它是无限长的，那么它沿着数字角频率轴的“总和”就会是无限大，所以其高斯分布的平均功率即方差无限大（后面解释），所以无法写出其概率分布函数

。

那么为啥其平均功率等于方差呢？下面给出证明。

但是经常实验的时候会叫你算出噪声功率，再用代码生成高斯白噪声啊，那功率无限大我算个锤子？

其实是这样的，我们在实际处理的时候，一方面，一个信号不可能有所有频率的分量，所以我们只需要进行一段区间的积分得到平均功率，比如信号经过LPF（Low Pass Filter），另一方面，我们通常处理离散序列，而高斯白噪声的平稳序列也恒有下面关系：

1. 自相关函数恒有
$R[m]=\frac{N_0}{2}\delta [m]$

2. 其自相关函数的DTFT也即功率谱密度恒有
$S(e^{j\omega }) = \frac{N_0}{2}$

所以此时，白噪声序列的方差是有限的。

1.1.5 信号的自相关函数

在信号处理中，其自相关函数是：

$R_X(\tau ) = X(\tau )* X(-\tau )$

我们知道自相关函数是衡量某信号的不同两个时间点的相关性，我们又知道，X和Y卷积是将X镜像后，滑动和Y相乘，而自相关函数是
$X(\tau )$
和
$X(-\tau )$
滑动相乘。我们画个图：

注意了，卷积的镜像和
$X(-\tau )$
的负号正好抵消，也就是不镜像，那么当然在这两个东西重合的时候，自相关性最大，这解释起来就非常自然了对吧。

1.2 信噪比（SNR：Signal To Noise Ratio）和Eb/N0

1.2.1 SNR

直接给出公式，SNR就是

在接收端中

，接收的信号的平均功率和接收端的噪声功率的比值：

$SNR=\frac{S}{N}$

其中S是信号的平均功率，N是高斯白噪声的平均功率。

1.2.2 Eb/N0

在数字通信过程中，我们更多会以 Eb/N0 为衡量标准，因为在数字通信中，我们更多关注比特（bit）而非码元符号（Symbol），我们学的许多数字调制技术如BPSK,QPSK,QAM等，一个符号就代表了通常不止一位的比特，但是我们需要的通常是0101的数据。

那么 Eb/N0 和 SNR 之间有什么关系呢？

首先我们探究 N0 和 N（Noise Power）之间的关系，我们知道，信号有信号带宽W，所以高斯白噪声对其带宽W分量的影响恒为
$\frac{N_0}{2}$
，由于在数字基带调制时这是基带的信号，实际上W带宽的信号占用的频谱是
$[-W,W]$
，所以在此频谱段上的“总和”就是
$2W\times \frac{N0}{2}$
, 也即噪声平均功率，所以有：

$\frac{N_0}{2}\times 2W=N$

也即：

$N_0=\frac{N}{W}$

而 S（Signal Power）和Eb的关系就是：

$\frac{S}{R_b}=\frac{E_b}{T_s}(T_s=1s)$

其中，Rb是比特率，因为通常我们做BER Performance的分析，我们会规定

码元速率（Symbol Rate）/ 波特率（Baud Rate）

等于1，所以Rb就相当于一个码元（Symbol）里有几个比特，所以Symbol的平均功率除以码元的比特数，当然就是一个比特有多少能量了。

综合起来：

$\frac{E_b}{N_0}=\frac{S}{N}\times \frac{W}{R_b}$

1.3 贝叶斯定理（Bayes’ Theorem）

这一节的知识将主要运用于推导MAP准则

1.3.1 条件概率（Conditional Probability）

条件概率的推导非常简单易懂，自然界中两个事件的发生总有一个先后，哪怕是同时也是可以认为在及其微小的时间间隔内连续发生，所以你想想A和B两个事件同时发生的概率不就是B先发生的概率乘以B发生后A再发生的概率吗：

1.3.2 全概率公式（Total Probablity）

这个也很好理解，比如你食物中毒的事件是A，那么导致食物中毒的事件有吃臭鸡蛋B1，吔悉B2，吃毒蘑菇B3…..，那你食物中毒的概率 P(A) 不就是所有导致食物中毒的事件Bi 发生后再由于Bi而食物中毒的概率相乘的总和吗：

1.3.3 贝叶斯定理

有了上面两个公式，贝叶斯定理就可以非常简单地推导出来，一个实际的情况是：原本你知道吃臭鸡蛋B1导致你食物中毒的概率, 现在是这样，你食物中毒了，现在想知道这个食物中毒事件是因为吃臭鸡蛋B1的概率是多少，怎么计算？

可以看到，条件概率和全概率的应用即可推导出来了。

1.3.4 先验概率，后验概率和转移概率

仍然以上面的例子为例，B1是吃臭鸡蛋的概率，为先验概率，而吃臭鸡蛋从而食物中毒的概率是转移概率，已经知道食物中毒了，而食物中毒由吃臭鸡蛋引起的概率是后验概率：

二、接收机模型

接收机的模型是以下这张图表示的那样，紧接着我们说说每步做了什么：

2.1 模型图

2.2 接收端的噪声

信号接收经过接收端的电阻，会收到热噪声的影响，热噪声符合高斯白噪声的性质，它是加性的。所以接收信号为：

$r(t)=s(t)+n(t)$

2.3 接收端的滤波器

接收端通常会用一个滤波器去降低噪声干扰，最常用的有两种：

1. 低通滤波器（LPF： Low Pass Filter）

2. 匹配滤波器（MF： Matched Filter）：在已知理想接收信号 s(t) 的情况下，通过设计得匹到的匹配滤波器，可最大化信噪比，为最佳接收机使用。

2.3.1 匹配滤波器

先直接给出结论，后面再说推导：

对于某类型信号 s（t），其匹配滤波器为：

$h(t)=\left\{\begin{matrix} ks(T-t) &t\in [0,T] \\ 0 &otherwise \end{matrix}\right.$

推导如下：

由于匹配滤波器能使得接收端SNR最大，所以我们也称使用匹配滤波器的接收机其为最佳接收机。

我们很多时候讨论BER Performance都是讨论在最佳接收机条件下的BER，后面将详细讲解！

一些图像展示帮助大家理解匹配滤波器：

那么，这么说起来的话，

难道一种波形就要对应一种匹配滤波器吗？比如+1的方波和-1的方波要对应两个不同的匹配滤波器？其实不是这样的

，一般我们的匹配滤波器只需要对应某种类型的波形即可，比如说方波对应一种匹配滤波器，所以无论是幅值为+1还是-10，匹配滤波器都用一个，然后在后续的判决器做判决。而比如说不同峰值的sinc波，也对应一种匹配滤波器即可。

2.4 采样器

模型图中，长得像开关的那个东西是啥？它其实是采样器，因为信号进入接收端，滤波之后，我们要对它进行采样才能转换为电平信号，从而去判决它是0还是1。而正如上面匹配滤波器一节所说，我们通常会以码元周期T为采样间隔。

2.5 判决

这将会是分析BER Performance的重头戏

！我们都知道，在接收信号通过滤波器之后，进行了采样，而采样过后会得到不同的电平状态，这个电平状态的值，是随机的，因为噪声的大小是随机的。打个比方说，我理想的接收信号
$s(t)$
的电平值是0或者1，比如是1，则加入噪声后是
$r(t)=s(t)+n(t)$
, 这时候
$r(t)$
的电平状态就会变得像锯齿一样。假如滤波器是LPF，并几乎无差错滤波得到
$z(t)$
，在
$t=T$
处进行采样后得到
$z(T)=0.3$
。如下图：