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第十一讲
二元函数的极值
要求：
理解多元函数极值的概念，
会用充分条件判定二元函数的极值，
会用拉格朗日乘数法
求条件极值。
问题提出
：
在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，
最小值问题，与一元函数相
类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，
来讨论多元函数的极值问题．
一．二元函数的极值
定义
设函数
)
,
(
y
x
f
z
在点
)
,
(
0
0
y
x
的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有
)
,
(
)
,
(
0
0
y
x
y
x
，
如果总有
)
,
(
)
,
(
0
0
y
x
f
y
x
f
，
则称函数
)
,
(
y
x
f
z
在点
)
,
(
0
0
y
x
处有
极大值；如果总有
)
,
(
)
,
(
0
0
y
x
f
y
x
f
，则称函数
)
,
(
y
x
f
z
在点
)
,
(
0
0
y
x
有极小值．
函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．
例
1
．函数
xy
z
在点
)
0
,
0
(
处不取得极值，因为在点
)
0
,
0
(
处的函数值为零，而在点
)
0
,
0
(
的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．
例
2
．函数
2
2
4
3
y
x
z
在点
)
0
,
0
(
处有极小值．
因为对任何
)
,
(
y
x
有
0
)
0
,
0
(
)
,
(
f
y
x
f
．
从几何上看，点
)
0
,
0
,
0
(
是开口朝上的椭圆抛物面
2
2
4
3
y
x
z
的顶点，曲面在点
)
0
,
0
,
0
(
处有切平面
0
z
，从而得到函数取得极值的必要条件．
定理
1
(必要条件)
设函数
)
,
(
y
x
f
z
在点
)
,
(
0
0
y
x
具有偏导数，
且在点
)
,
(
0
0
y
x
处有极值，
则它在该点的
偏导数必然为零，即
0
)
,
(
0
0
y
x
f
x
，
0
)
,
(
0
0
y
x
f
y
．
几何解释
若函数
)
,
(
y
x
f
z
在点
)
,
(
0
0
y
x
取得极值
0
z
，
那么函数所表示的曲面在点
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
处的切平面方程为
)
)(
,
(
)
)(
,
(
0
0
0
0
0
0
0
y
y
y
x
f
x
x
y
x
f
z
z
y
x
是平行于
xoy
坐标面的平面
0
z
z
．
类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为
0
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
f
x
，
0
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
f
y
，
0
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
f
z