博客

科技论坛 积分上限函数 是高等数学中一类特殊的函数形式，是微积分基本公式(牛顿 – 莱布尼茨公式)的理论基础，是联系微分学和积分学的桥梁，在高等数学中具有重要的地位，因此，研究生入学考试和大学生数学竞赛，历来都把积分变限函数求导(包括积分上限函数和积分下限函数)作为测试的重点内容之一。但在高等数学教材中，对积分变限函数求导的方法讲解的都比较简略，以致很多学生都把这个知识点作为难点内容。本文对积分变限函数求导类型及方法概括总结，并详细解答例题，帮助学生深刻理解积分变限函数的实质及内涵，击破难点。1 积分变限函数基本求导公式积分变限函数求导，其基本原理是以下五个公式[3]： i)若 f(x)在[a,b]上连续，则 在[a,b]上可导，且 ； .同理， . ii)若 f(x)在[a,b]上连续，且 可导，则 ； 同理， . iii)若 f(x)在[a,b]上连续，且 ， 可导，则 例 1(2016 考研.数一) . 解 当 时， ， . 利用洛必达法则，得 在以上五个公式中，被积函数都不含参变量 x，而仅是积分变量t 的函数，求导时，把 f(t)中的 t 换成 x即可。但做题时经常遇到被积函数中既含有参变量 x，又含有积分变量 t 的情况，可总结为以下两种类型。 2 被积函数中参变量 x 和积分变量 t 可分离的情况定理[1] 若函数 f(x,t)关于变量 x，t 是可分离的，即 ， 则 其基本原理，是 g(x)不参与积分运算，将其提到积分号前面，然后利用乘积的求导法则求解。 例 2(2012 天津大学生数学竞赛)设函数 f(x)有连续导数，f(0) =1&#x