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图着色问题

【1】

给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色。

【2】

若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的2个顶点着不同颜色，则称这个数m为该图的色数。

解题思路

【1】

题目链接

问题分析

第一种是常见的给出一张图，和固定的颜色，让我们判断是否能成功染色或者有几种染色方案；

解题思路

回溯+DFS

• 用dfs(i)表示对第i个节点染色，当i>n时，即染色完毕；
• 对于每一个节点，都要去
  
  枚举与它相连的所有节点
  
  ，看颜色是否重合，如果重合枚举下一种颜色，找到一种颜色不与相连的节点重合，就枚举下一节点(
  
  dfs(i+1)
  
  )；
• 所有颜色都枚举完，还是没有符合条件的，就回溯，重新枚举；
• 找到了就不需要回溯，因为只需要判断是否能染色成功(
  
  这点尤其要注意
  
  )；

代码演示

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 110;
int G[maxn][maxn];
int color[maxn];
bool ans;
int n,m,k;
void init(){
//用于数组的初始化
    ans = 0;
    memset(G, 0 , sizeof G);
    memset(color, 0 , sizeof color);
}

void dfs(int cur){
    if(cur > n) {
        ans = 1;
        return;    
    } 
    for(int i=1; i<=m; i++){ 
    //对cur结点尝试使用每一种颜色进行涂色 
    
        bool flag = 1;
        //cur之前的结点必被涂色
        for(int j=1; j<cur; j++){
            if(G[j][cur] == 1 && color[j] == i){
                flag = 0;
                //只要有一个冲突都不行 
                break;
            }
        } 
        //如果可以涂上i颜色，则考虑下一个结点的情况 
        if(flag){
            color[cur] = i;
            dfs(cur + 1);
            //color[curr]=0;
            //！！！当需要求方案数的时候，回溯应该放在这里，目的是求出所有方案！！！；
        } 
        //如果到这一步第cur个结点无法着色，则返回探寻其他方案 
        else color[cur] = 0;
        //回溯 ;
    }
    
}


int main(){
    while(cin>>n>>k>>m){
        init(); 
        for(int i=1; i<=k; i++){
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            G[x][y] = G[y][x] = 1;
        }
        dfs(1);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

【2】

题目练习

问题分析

是给定一张图，让我们找出完全染色需要的最小颜色数目；

解题思路

利用回溯，求出所有方案，记录下颜色数目即可；

代码演示

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
/*
  vector<int>Room[M]表示房间里的人
    每次选房间之前遍历下，类似于着色问题
    G[110][110]表示人之间的关系
	dfs(i,j)
	 表示安安排i个人需要住的房间数为j; 
	*/
	int G[110][110];
	  int n;
	   int ans;
	vector<int>Room[110];
void dfs(int x,int y){
	if(y>=ans)return;
	//剪枝
	if(x>n){
		ans=min(ans,y);
	//	cout<<"y "<<y<<endl;
		return;
	}
      for(int j=1;j<=y;j++){
      		bool flag=1;
	//判断这间房x能否住 
	for(int i=0;i<Room[j].size();i++){
		if(G[Room[j][i]][x]){
			flag=0;
			break;
		}
	}
	 if(flag){
	 	//这间房可以住 
	 	Room[j].push_back(x);
		 dfs(x+1,y);
		 Room[j].pop_back();
	 }
      }
	 	//为x再开一间房
		 Room[y+1].push_back(x); 
	 	dfs(x+1,y+1);
	 	Room[y+1].pop_back();
	 	
} 
void init(){
    memset(Room ,  0, sizeof Room);
    memset(G,  0, sizeof G);
    ans = INT_MAX;
}
int main(){
	init(); 
    int m,a,b;
     n=read();
     //快读，以后更新
     m=read();
     while(m--){
     	a=read();b=read();
     	G[a][b]=G[b][a]=1;
     }
     dfs(1,1);
     cout<<ans;
	return 0;
}