大整数乘法

现在我们给出两个数字1234和4321（这两个数字并不大，以此为例而已），按照我们做乘法的习惯，我们写成竖式，用1234分别跟4，3，2，1相乘并对应移位相加得到结果，那么我们在这个过程中用了几次乘法呢？是4次？不，其实1234跟4相乘是1,2，3,4分别乘4，也是4次乘法，因此一共我们使用了4*4次乘法。

这仅仅是4位，如果是更多，那么算法的复杂度无疑是O（n^2），为了提高效率，降低这种复杂度，我们可以使用分治法。

首先，我们将两个n位大整数X,Y分开，分为四个n/2位的整数，如下：



例如，X=12345678，分成a=1234

10^4,b=5678

1；此时的计算效率如下：



利用我们学过的复杂度分析法，其复杂度如下:



根据master定理，复杂度为O(n^2),并没有改进。

为了降低复杂度，我们必须用加法代替乘法，因此我们修改一下上面式子的形式：





补充：master定理：

代码摘自：https://blog.csdn.net/jeffleo/article/details/53446095

#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1) 
int divideConquer(int X, int Y, int n){
    int sign = SIGN(X) * SIGN(Y);
    int x = abs(X);
    int y = abs(Y);
    if(x == 0 || y == 0){
        return 0;
    }else if(n == 1){
        return sign * x * y;
    }else{
        int A = (int) x / pow(10, (int)(n / 2));
        int B = x - A * pow(10, n / 2);
        int C = (int) y / pow(10, (int)(n / 2));
        int D = y - C * pow(10, n / 2);
        int AC = divideConquer(A, C, n / 2);
        int BD = divideConquer(B, D, n / 2);
        int ABDC = divideConquer((A - B), (D - C), n / 2) + AC + BD;
        return sign * (AC * pow(10 , n) + ABDC * pow(10, (int)(n / 2)) + BD); 
    }
}

int main(){
    int x, y, n;
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &n);
    printf("x 和 y的乘积为：%d", divideConquer(x, y, n));
}