集合的相关概念（开闭、有界无界、内点边界点等）

Post author:xfxia
Post published:2023年9月10日
Post category:其他

闭包、开集、闭集、有界、无界、紧集、邻域、内点、边界点及边界

闭包

如果存在一个序列
$\{x_n\} \subset X$
收敛到
$x$
，那么称
$x$
是
$R^n$
的子集
$X$
的一个闭包点或极限点。
$X$
的闭包(closure)记为
$cl(X)$
，是指
$X$
的所有闭包点的集合。例如，闭包[1,10]内有无数个闭包点。

开集/闭集

$R^n$
的子集
$X$
被称作是闭(closed)的，如果它等于它的闭包。
$X$
被称作是开(open) 的，如果它的补集
$\{x\ |\ x \notin X\}$
是闭的。

有界/无界

$X$
被称作是有界(bounded)的，如果存在标量
$c$
，使得
$\left \| x \right \|\leqslant c$
对于所有的
$x\in X$
成立。否则，称为无界的。

紧集

$X$
被称作是紧(compact)的，如果它是闭且有界的。

邻域

向量
$r$
的邻域(neighborhood)是指包含
$r$
的开集。

内点/边界点/边界

当
$X\subset R^n$
且
$x \in X$
时，如果存在一个
$x$
的邻域包含于
$X$
，称
$x$
是
$X$
的内点(neighborhood point)。不是
$X$
的内点的向量
$x \in X$
被称为
$X$
的边界点(boundary point)。
$X$
的所有边界点的集合被称为
$X$
的边界(boundary)。

相关性质

(a)有限多个闭集的并集为闭集。

(b)闭集的交集为闭集。

(c)开集的并集为开集。

(d)有限多个开集的交集为开集。

(e)一个集合是开集，当且仅当它的所有元素都是其内点。

(f)
$R^n$
的每个子空间都是闭集。

(g)
$R^n$
的子集是紧集，当且仅当它是有界闭集。

原文链接：https://blog.csdn.net/hyl1181/article/details/111881516

闭包、开集、闭集、有界、无界、紧集、邻域、内点、边界点及边界

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