1.均值函数具有各态历经性的充要条件
设
X
=
{
X
t
,
−
∞
<
t
<
+
∞
}
X=\{X_t,-\infty<t<+\infty \}
X
=
{
X
t
,
−
∞
<
t
<
+
∞
}
是平稳过程，则均值函数具有各态历经性的充要条件是
l
i
m
T
−
>
∞
1
2
T
∫
−
2
T
+
2
T
(
1
−
∣
τ
∣
2
T
)
C
x
(
τ
)
d
τ
=
0
lim_{T->\infty}\frac{1}{2T}\int_{-2T}^{+2T}(1-\frac{|\tau|}{2T})C_x(\tau)d\tau=0
l
i
m
T
−
>
∞
2
T
1
∫
−
2
T
+
2
T
(
1
−
2
T
∣
τ
∣
)
C
x
(
τ
)
d
τ
=
0
其中
C
x
(
τ
)
C_x(\tau)
C
x
(
τ
)
是协方差函数
证明：
由
P
(
<
x
t
>
=
m
x
(
t
)
)
=
1
可
得
：
D
[
<
x
t
>
]
=
0
P(<x_t>=m_x(t))=1可得：D[<x_t>]=0
P
(
<
x
t
>
=
m
x
(
t
)
)
=
1
可
得
：
D
[
<
x
t
>
]
=
0
（因为
X
t
X_t
X
t
是常数，所以
X
t
X_t
X
t
的方差为零）
，又
D
[
<
x
t
>
]
=
D
[
l
i
m
T
−
>
∞
1
2
T
∫
−
T
+
T
X
t
d
t
]
=
l
i
m
T
−
>
∞
D
[
1
2
T
∫
−
T
+
T
X
t
d
t
]
0
D[<x_t>]=D[lim_{T->\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}X_tdt]=lim_{T->\infty}D[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}X_tdt]0
D
[
<
x
t
>
]
=
D
[
l
i
m
T
−
>
∞
2
T
1
∫
−
T
+
T
X
t
d
t
]
=
l
i
m
T
−
>
∞
D
[
2
T
1
∫
−
T
+
T
X
t
d
t
]
0
对其进行计算
D
[
<
x
t
>
]
=
E
∣
1
2
T
∫
−
∞
+
∞
X
t
d
t
−
E
[
1
2
T
∫
−
T
+
T
X
t
d
t
]
∣
2
D[<x_t>]=E|\frac{1}{2T}\int_{-\infty}^{+\infty}X_tdt-E[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}X_tdt]|^2
D
[
<
x
t
>
]
=
E
∣
2
T
1
∫
−
∞
+
∞
X
t
d
t
−
E
[
2
T
1
∫
−
T
+
T
X
t
d
t
]
∣
2
=
E
∣
1
2
T
∫
−
T
+
T
X
t
−
m
x
d
t
∣
2
=E|\frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T}X_t-m_xdt|^2
=
E
∣
2
T
1
∫
−
T
+
T
X
t
−
m
x
d
t
∣
2
=
E
[
1
4
T
2
∫
−
T
+
T
(
X
s
−
m
x
‾
)
d
s
∫
−
T
+
T
(
X
t
−
m
x
)
d
t
]
=E[\frac{1}{4T^2}\int_{-T}^{+T}(\overline{X_s-m_x})ds\int_{-T}^{+T}({X_t-m_x})dt]
=
E
[
4
T
2
1
∫
−
T
+
T
(
X
s
−
m
x
)
d
s
∫
−
T
+
T
(
X
t
−
m
x
)
d
t
]
=
1
4
T
2
∫
−
T
+
T
∫
−
T
+
T
E
[
(
X
s
−
m
x
‾
)
(
X
t
−
m
x
)
]
d
s
d
t
=\frac{1}{4T^2}\int_{-T}^{+T}\int_{-T}^{+T}E[(\overline{X_s-m_x})({X_t-m_x})]dsdt
=
4
T
2
1
∫
−
T
+
T
∫
−
T
+
T
E
[
(
X
s
−
m
x
)
(
X
t
−
m
x
)
]
d
s
d
t
=
1
4
T
2
∫
−
T
+
T
∫
−
T
+
T
C
x
(
t
−
s
)
d
s
d
t
=\frac{1}{4T^2}\int_{-T}^{+T}\int_{-T}^{+T}C_x(t-s)dsdt
=
4
T
2
1
∫
−
T
+
T
∫
−
T
+
T
C
x
(
t
−
s
)
d
s
d
t
令
u
=
t
−
s
,
v
=
t
+
s
u=t-s,v=t+s
u
=
t
−
s
,
v
=
t
+
s
，上式可以化简为
1
4
T
2
∫
∫
D
C
x
(
u
)
∣
J
∣
d
u
d
v
,
∣
J
∣
=
∣
−
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
2
∣
\frac{1}{4T^2}\int\int_{D}C_x(u)|J|dudv,|J|=\left |\begin{array}{cccc} -1/2 &1/2 \\ 1/2 &1/2 \end{array}\right|
4
T
2
1
∫
∫
D
C
x
(
u
)
∣
J
∣
d
u
d
v
,
∣
J
∣
=
∣
∣
∣
∣
−
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
2
∣
∣
∣
∣
确认新的积分区域
{
∣
v
+
u
∣
=
2
T
∣
v
−
u
∣
=
2
T
\begin{cases} |v+u|=2T \\ |v-u|=2T \end{cases}
{
∣
v
+
u
∣
=
2
T
∣
v
−
u
∣
=
2
T
用之前变量的界表示新的变量的积分区域
=
1
4
T
2
⋅
1
2
[
∫
−
2
T
0
d
u
∫
−
2
T
−
u
2
T
+
u
C
x
(
u
)
d
v
+
∫
0
2
T
d
u
∫
−
2
T
+
u
2
T
−
u
C
x
(
u
)
d
v
]
=\frac{1}{4T^2}\cdot\frac{1}{2}\left [\int_{-2T}^0du\int_{-2T-u}^{2T+u} C_x(u)dv+\int_0^{2T}du\int_{-2T+u}^{2T-u}C_x(u)dv\right ]
=
4
T
2
1
⋅
2
1
[
∫
−
2
T
0
d
u
∫
−
2
T
−
u
2
T
+
u
C
x
(
u
)
d
v
+
∫
0
2
T
d
u
∫
−
2
T
+
u
2
T
−
u
C
x
(
u
)
d
v
]
分为左右两边分别积分
=
1
8
T
2
[
∫
−
2
T
0
C
x
(
u
)
(
4
T
+
2
u
)
d
u
+
∫
0
2
T
C
x
(
u
)
(
4
T
−
2
u
)
d
u
]
=\frac{1}{8T^2}\left [\int_{-2T}^0C_x(u)(4T+2u)du+\int_0^{2T}C_x(u)(4T-2u)du\right ]
=
8
T
2
1
[
∫
−
2
T
0
C
x
(
u
)
(
4
T
+
2
u
)
d
u
+
∫
0
2
T
C
x
(
u
)
(
4
T
−
2
u
)
d
u
]
=
1
2
T
[
∫
−
2
T
0
C
x
(
u
)
(
1
+
u
2
T
)
d
u
+
∫
0
2
T
C
x
(
u
)
(
1
−
u
2
T
)
d
u
]
=\frac{1}{2T}\left [\int_{-2T}^0C_x(u)(1+\frac{u}{2T})du+\int_0^{2T}C_x(u)(1-\frac{u}{2T})du\right ]
=
2
T
1
[
∫
−
2
T
0
C
x
(
u
)
(
1
+
2
T
u
)
d
u
+
∫
0
2
T
C
x
(
u
)
(
1
−
2
T
u
)
d
u
]
=
1
2
T
[
∫
−
2
T
2
T
C
x
(
u
)
(
1
−
∣
u
∣
2
T
)
d
u
]
=\frac{1}{2T}\left [\int_{-2T}^{2T}C_x(u)(1-\frac{|u|}{2T})du\right ]
=
2
T
1
[
∫
−
2
T
2
T
C
x
(
u
)
(
1
−
2
T
∣
u
∣
)
d
u
]
=
1
2
T
[
∫
−
2
T
2
T
C
x
(
τ
)
(
1
−
∣
τ
∣
2
T
)
d
τ
]
=\frac{1}{2T}\left [\int_{-2T}^{2T}C_x(\tau)(1-\frac{|\tau|}{2T})d\tau\right ]
=
2
T
1
[
∫
−
2
T
2
T
C
x
(
τ
)
(
1
−
2
T
∣
τ
∣
)
d
τ
]
😫😫😫😫😫😫终于整完啦！
2.实过程
若
X
X
X
是实过程，则各态历经性的充要条件是
l
i
m
T
−
>
+
∞
1
T
[
∫
0
2
T
C
x
(
τ
)
(
1
−
τ
2
T
)
d
τ
]
=
0
lim_{T->+\infty}\frac{1}{T}\left [\int_{0}^{2T}C_x(\tau)(1-\frac{\tau}{2T})d\tau\right ]=0
l
i
m
T
−
>
+
∞
T
1
[
∫
0
2
T
C
x
(
τ
)
(
1
−
2
T
τ
)
d
τ
]
=
0
此时
C
x
(
τ
)
为
偶
函
数
C_x(\tau)为偶函数
C
x
(
τ
)
为
偶
函
数
因为是偶函数，所以直接运用偶函数的性质，就可得到上式。
3.
t
≥
0
t\ge0
t
≥
0
的情况
积分区域变为
所以各态历经的充要条件为：
l
i
m
T
−
>
+
∞
1
T
[
∫
−
T
T
C
x
(
τ
)
(
1
−
τ
T
)
d
τ
]
=
0
lim_{T->+\infty}\frac{1}{T}\left [\int_{-T}^{T}C_x(\tau)(1-\frac{\tau}{T})d\tau\right ]=0
l
i
m
T
−
>
+
∞
T
1
[
∫
−
T
T
C
x
(
τ
)
(
1
−
T
τ
)
d
τ
]
=
0
此时
C
x
(
τ
)
为
偶
函
数
C_x(\tau)为偶函数
C
x
(
τ
)
为
偶
函
数
如果
X
X
X
实平稳过程，则相应结论为
l
i
m
T
−
>
+
∞
2
T
[
∫
0
T
C
x
(
τ
)
(
1
−
τ
T
)
d
τ
]
=
0
lim_{T->+\infty}\frac{2}{T}\left [\int_{0}^{T}C_x(\tau)(1-\frac{\tau}{T})d\tau\right ]=0
l
i
m
T
−
>
+
∞
T
2
[
∫
0
T
C
x
(
τ
)
(
1
−
T
τ
)
d
τ
]
=
0
高木同学也很好看