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信号的定义 脉冲函数与阶跃函数 脉冲分解
中提到了信号分解，本文继续整理正交函数集与信号在正交函数集上的分解
正交函数集
信号分解的物理意义
-
自然界中存在着一些能够组成各种事物的基本单元，不同
的事物可以由这些基本单元通过不同的配比构成 -
线性代数中可类比的现象为“线性表出”
A=b1B1+b2B2+…+bnBn，
Bn被称为基元，bn被称为系数 - 几何学中可类比的现象为“直角坐标系”
正交集合
-
正交集合定义：
– 正交集合是由一系列元素组成的
– 元素是彼此正交（垂直）的 -
如何判断两元素彼此正交？
– 如果元素为向量，且两向量点积为0，则两元素正交
– 向量的点积/内积 - 如果元素为函数，如何判断正交？
函数点积
-
向量点积
：向量点积表现为对应数值相乘累加-
A⋅
B
=
A
B
T
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
A \cdot B = AB^T=\sum_{i=1}^na_ib_i
A
⋅
B
=
A
B
T
=
i
=
1
∑
n
a
i
b
i
-
-
离散函数点积
：可以把离散函数理解为向量-
离散函数
f1
(
n
)
,
f
2
(
n
)
,
n
∈
[
n
1
,
n
2
]
f_1(n),f_2(n),n \in [n_1,n_2]
f
1
(
n
)
,
f
2
(
n
)
,
n
∈
[
n
1
,
n
2
]
,定义
f1
f_1
f
1
与
f2
f_2
f
2
的点积为
f1
⋅
f
2
=
∑
n
=
n
1
n
2
f
1
(
n
)
f
2
(
n
)
f_1 \cdot f_2 = \sum_{n=n_1}^{n_2}f_1(n)f_2(n)
f
1
⋅
f
2
=
n
=
n
1
∑
n
2
f
1
(
n
)
f
2
(
n
)
-
离散函数
-
连续函数点积
：离散情况下的累加对应连续情况就是一个时间段的积分-
连续实函数
f1
(
t
)
,
f
2
(
t
)
,
t
∈
[
T
1
,
T
2
]
f_1(t),f_2(t),t \in [T_1,T_2]
f
1
(
t
)
,
f
2
(
t
)
,
t
∈
[
T
1
,
T
2
]
,定义
f1
f_1
f
1
与
f2
f_2
f
2
的点积为
f1
⋅
f
2
=
∫
t
=
T
1
T
2
f
1
(
t
)
f
2
(
t
)
d
t
f_1 \cdot f_2 = \int_{t=T_1}^{T_2}f_1(t)f_2(t)dt
f
1
⋅
f
2
=
∫
t
=
T
1
T
2
f
1
(
t
)
f
2
(
t
)
d
t
-
连续实函数
正交函数
-
设
f1
(
t
)
f_1(t)
f
1
(
t
)
和
f2
(
t
)
f_2(t)
f
2
(
t
)
为定义在
(t
1
,
t
2
)
(t1, t2)
(
t
1
,
t
2
)
区间上的两个实函数，若
∫t
1
t
2
f
1
(
t
)
f
2
(
t
)
d
t
=
0
\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt=0
∫
t
1
t
2
f
1
(
t
)
f
2
(
t
)
d
t
=
0
,则称函数
f1
(
t
)
f_1(t)
f
1
(
t
)
与
f2
(
t
)
f_2(t)
f
2
(
t
)
正交
正交集定义
-
设集合
S=
{
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
}
,
s
i
(
i
=
1
,
2
,
…
,
n
)
S =\{s_1, s_2,…, s_n\}, s_i(i=1,2,…, n)
S
=
{
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
}
,
s
i
(
i
=
1
,
2
,
…
,
n
)
为集合S中的元素，可以是向量、函数等等 - 在集合S上定义一种运算，称为“点积”，用符号“•”表示
-
如果满足
si
⋅
s
j
=
0
(
i
≠
j
)
s_i \cdot s_j =0 (i\neq j)
s
i
⋅
s
j
=
0
(
i
=
j
)
且
si
⋅
s
i
≠
0
s_i \cdot s_i \neq 0
s
i
⋅
s
i
=
0
,则称集合S为
正交集
-
如果还满足：
si
⋅
s
i
=
1
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
s_i \cdot s_i=1, i=1,2,…, n
s
i
⋅
s
i
=
1
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
, 则称集合S为
标准正交集
正交函数集定义
-
设函数集合
F=
{
f
1
(
t
)
,
f
2
(
t
)
,
.
.
.
,
f
n
(
t
)
}
F = \{f_1(t),f_2(t),…,f_n(t)\}
F
=
{
f
1
(
t
)
,
f
2
(
t
)
,
.
.
.
,
f
n
(
t
)
}
,如果满足
∫T
1
T
2
f
i
(
t
)
f
j
(
t
)
d
t
=
0
(
i
≠
j
)
\int_{T_1}^{T_2}f_i(t)f_j(t)dt=0(i \neq j)
∫
T
1
T
2
f
i
(
t
)
f
j
(
t
)
d
t
=
0
(
i
=
j
)
且
∫T
1
T
2
f
i
(
t
)
f
i
(
t
)
d
t
=
K
i
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
\int_{T_1}^{T_2}f_i(t)f_i(t)dt=K_i \quad i=1,2,…,n
∫
T
1
T
2
f
i
(
t
)
f
i
(
t
)
d
t
=
K
i
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
则称集合 F 为
正交函数集
-
• 如果
Ki
=
1
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
K_i = 1, i = 1,2,…,n
K
i
=
1
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
，则称 F 为
标准正交函数集
-
如果在上述正交函数集之外，找不到另外一个非零函数
与该函数集中每一个函数都正交，则称该函数集为完备
正交函数集
正交函数集示例
-
在实变函数域，常见的有
三角正交函数集
-
在复变函数域，常见的有
复指数正交函数集
- 后续可能会展开讲
信号在正交函数集上的分解
正交集上的分解
-
一个函数
ff
f
（函数空间中的一点）可以由正交函数集
F=
f
1
,
f
2
,
…
,
f
n
F={f_1 ,f_2 ,…,f_n}
F
=
f
1
,
f
2
,
…
,
f
n
中的元素线性表出
f=
a
1
⋅
f
1
+
a
2
⋅
f
2
+
…
+
a
n
⋅
f
n
f = a_1·f_1 + a_2·f_2 +…+ a_n ·f_n
f
=
a
1
⋅
f
1
+
a
2
⋅
f
2
+
…
+
a
n
⋅
f
n
-
上述过程即为函数
ff
f
在正交函数集
FF
F
上的分解 - 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确地线性表出，就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的.
定理
设：
{
f
i
(
t
)
}
\{f_i(t) \}
{
f
i
(
t
)
}
在
(
t
1
,
t
2
)
(t_1, t_2)
(
t
1
,
t
2
)
区间上是关于某一类信号
f
(
t
)
f(t)
f
(
t
)
的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号
f
(
t
)
f(t)
f
(
t
)
都可以精确地表示为
{
f
i
(
t
)
}
\{f_i(t) \}
{
f
i
(
t
)
}
的线性组合.
不完备情况
下，一般要以一定的准则来完成元素的近似分解；最常用的准则是
均方误差准则
正交函数集上的分解
