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1、输入一个非负整数
n
，请你计算阶乘
n!
的结果末尾有几个 0
。
比如说输入
n = 5
，算法返回 1，因为
5! = 120
，末尾有一个 0。
函数签名如下：
int trailingZeroes(int n);首先，两个数相乘结果末尾有 0，一定是因为两个数中有因子 2 和 5，因为 10 = 2 x 5。
也就是说，问题转化为：
n!
最多可以分解出多少个因子 2 和 5
？
比如说
n = 25
，那么
25!
最多可以分解出几个 2 和 5 相乘？这个主要取决于能分解出几个因子 5，因为每个偶数都能分解出因子 2，因子 2 肯定比因子 5 多得多。
25!
中 5 可以提供一个，10 可以提供一个，15 可以提供一个，20 可以提供一个，25 可以提供两个，总共有 6 个因子 5，所以
25!
的结果末尾就有 6 个 0。
现在，问题转化为：
n!
最多可以分解出多少个因子 5
？
这样，我们假设
n = 125
，来算一算
125!
的结果末尾有几个 0：
首先，125 / 5 = 25，这一步就是计算有多少个像 5，15，20，25 这些 5 的倍数，它们一定可以提供一个因子 5。
然后，像 25，50，75 这些 25 的倍数，可以提供两个因子 5，那么我们再计算出
125!
中有 125 / 25 = 5 个 25 的倍数，它们每人可以额外再提供一个因子 5。
最后，像 125，250 这些 125 的倍数，可以提供 3 个因子 5，那么我们还得再计算出
125!
中有 125 / 125 = 1 个 125 的倍数，它还可以额外再提供一个因子 5。
如此这般，
125!
最多可以分解出 20 + 5 + 1 = 26 个因子 5，也就是说阶乘结果的末尾有 26 个 0。
理解了这个思路，就可以理解解法代码了：
int trailingZeroes(int n) {
int res = 0;
long divisor = 5;
while (divisor <= n) {
res += n / divisor;
divisor *= 5;
}
return res;
}
这里
divisor
变量使用 long 型，因为假如
n
比较大，考虑 while 循环的结束条件，
divisor
可能出现整型溢出。
或者
int trailingZeroes(int n) {
int res = 0;
for (int d = n; d / 5 > 0; d = d / 5) {
res += d / 5;
}
return res;
}
2、输入一个非负整数
K
，请你计算有多少个
n
，满足
n!
的结果末尾恰好有
K
个 0
。
比如说输入
K = 1
，算法返回 5，因为
5!,6!,7!,8!,9!
这 5 个阶乘的结果最后只有一个 0，即有 5 个
n
满足条件。
函数签名如下：
int preimageSizeFZF(int K);
因为随着
n
的增加，
n!
肯定是递增的，
trailingZeroes(n!)
肯定也是递增的
对于这种具有单调性的函数，用 for 循环遍历，可以用二分查找进行降维打击
搜索有多少个
n
满足
trailingZeroes(n) == K
，其实就是在问，
满足条件的
n
最小是多少，最大是多少，最大值和最小值一减，就可以算出来有多少个
n
满足条件了。
那不就是二分查找「搜索左侧边界」和「搜索右侧边界」这两个事儿嘛？
注意为了避免整型溢出的问题，
trailingZeroes
函数需要把所有数据类型改成 long
#include<iostream>
using namespace std;
long trailingZeroes(long n) {
long res = 0;
for (long d = n; d / 5 > 0; d = d / 5) {
res += d / 5;
}
return res;
}
int left_bound(int target) {
long l = 0;
long r = LONG_MAX;
while (l < r) {
long mid = (l + r) / 2;
if (trailingZeroes(mid) < target) {
l = mid + 1;
}
else if (trailingZeroes(mid) > target) {
r = mid;
}
else {
r = mid;
}
}
return l;
}
int right_bound(int target) {
long l = 0;
long r = LONG_MAX;
while (l < r) {
long mid = (l + r) / 2;
if (trailingZeroes(mid) < target) {
l = mid + 1;
}
else if (trailingZeroes(mid) > target) {
r = mid;
}
else {
l= mid+1;
}
}
return l - 1;
}
int problem(int K) {
return right_bound(K) - left_bound(K) + 1;
}
int main() {
int K;
while (cin >> K) {
cout << problem(K) << endl;
}
return 0;
}