你应当对两个向量
和
之间的点积
很熟悉了（注意，我再一次省略了向量上的箭头符号。在本文的剩余部分中，符号
和
都是专指向量）。利用指标记号，点积可以被写为（假设在欧氏空间的笛卡尔坐标系中）：
这里的
是有两个下标的克罗内克符号（
时，
；
时，
）
点积是向量内积
的一种特殊情况（注：在相对论中使用的内积定义和你在线性代数课上学到的有一点差异，具体而言，定义中的“
”被替换为了“
使
”。这是因为广义相对论需要 “
可以取任意非零值”的性质），向量内积是点积的推广。内积可以用一个叫做
度量
（metric）的量
来表示：
由于内积具有对称性
，因而度量也有相应的对称性
我们还需要定义
逆度量
（注：有一些人把
和
都当作是“度量”，并且可以侥幸这么做而不出错。这是由于
中的指标位置只是用于表明它是
的逆的。并且由于原则上你可以从
或
的一者求出另一者，因而它们可以被看作是含有相同信息的两种写法），它被定义为下式的解：
回忆之前定义的克罗内克符号
，它正好是单位矩阵的分量。这说明我们把
叫做“逆度量”是合理的。
考察欧氏空间笛卡尔坐标系下的点积（
），我们可以看出其度量为
。明确来说，其度量可以被写成下面的数表（但是度量并不是一个矩阵，因为度量有两个下标而不是一上一下两个指标）：
不难推断（见下面的练习
VI.1
)，此度量对应的逆度量的分量是
。
现在，让我花一点时间解释度量的分量
的含义。回忆一下，一个三维向量可以像下面这样写成三个线性无关基向量的线性组合的形式：
在此，我
没有
假设
是单位正交向量：它们的长度可以不是单位长度，它们也不必相互正交。因为
本身都是向量，所以我可以对这些基向量求内积
。利用内积的定义（见题图）可以看出（见练习
VI.2
），
恰好形成了度量张量的分量（译者注：大概是指
，因而可以将
当作度量
）：
因此，度量的分量
正是基向量间的内积。在前一章中，我向你介绍了“偏导数
就是基向量”的观点。上式反过来可以表示度量的分量
定义了偏导数的内积：
你或许在读文献时见过类似于“度量提供了一种测量空间中距离的方法”这样的说法。这是因为度量可以被用于构建
线元素
：
（其中的上标2代表指数，而不是指标）
这可以被想成是无穷小位移向量
的范数
。在通常的笛卡尔
坐标系中，线元素也可被写为：
给定一条由参数
确定的曲线
（译者注：我也不太清楚为什么原作者写的是
而不是
，应该是一个意思吧），线元素可以被用于衡量该曲线的长度。
中的线元素可以被看作是曲线上一段无穷小距离
的平方，并且任意两点
和
间的距离
可由下面的积分式给出：
你可以将
两侧开平方根得到关于
的公式，再利用物理学家乘除微分的小技巧导出式上式：
然后将上式积分，即可得到前式了。
在总结上述讨论之前，我必须再最后强调一点。
度量/内积可以被看作是一个线性的
（注：指题图中的特性1和特性2）
“机器”，它能“吃掉”两个向量，并且“吐出”一个标量。
我们稍后就会看到，张量可以用类似的描述来定义。
习题
VI.1
说明（或者证明）在笛卡尔坐标系中（此时
），逆度量的分量
（
时，
；
时，
）
（注：如果你注意到
和矩阵乘法公式具有相同的形式，证明起来会简单许多。）
习题
VI.2
说明基向量
之间的内积形成了度量的分量
，并进一步说明
。
为了证明这一点，你可以先不管爱因斯坦求和约定，将
用求和式明确写成
的形式。
这里，考虑到
和
只是基向量
前的系数，你可以把它们当作是“标量”。再对求和的九项分别使用内积的特性
（
是标量），就可以得到：
也即
。将此结果与
逐项对比，就可以得到结论了。
习题
VI.3
考虑欧氏空间中一个半径为 R 的圆环。回忆习题
V.3
中将圆环参数化表示的式子
，利用度量
，说明积分式
能正确地算出圆环的周长。