矩阵的特征值和特征向量的性质

什么是特征值和特征向量

$A\alpha =\lambda \alpha$

A为一个N阶方阵，
$\alpha$
为一个向量，
$\lambda$
为一个值。

满足上述等式，则称
$\alpha$
为一个特征向量，
$\lambda$
为一个特征值

注：1、方阵才有特征值、特征向量，非方阵没有

2、特征向量
$\alpha \neq 0$

3、设
$A_{n*n}$
，则

复数

范围内，A恰有N个特征值

4、对于
$\lambda$
每个特征值，都有无穷个特征向量

证：
$kA\left ( \alpha \right )=k\lambda\alpha =A\left ( k\alpha \right )=\lambda \left ( k\alpha \right )$

所以
$\alpha$
为满足
$\lambda$
为特征值的一个特征向量，则
$\alpha$
任意乘以一个非零数k，则
$k\alpha$
任然为满足
$\lambda$
为特征值的一个特征向量

所以可以得出，
$\lambda$
为特征值时，有无穷个特征向量与其对应，即
$k\alpha$
，
$k\neq 0$

并且，其中的任意两个
$\alpha$
相加，都为
$\lambda$
为特征值时的特征向量

5、若
$\alpha (\alpha \neq 0)$
为
$AX=0$
的解，则可以称，
$\alpha$
为A特向值
$\lambda$
为0时的特征向量

即
$A\alpha =0\alpha =0$

如何求特征值

$A\alpha =\lambda \alpha$

$A\alpha-\lambda \alpha =0$

$\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0$

$\because \alpha \neq 0$

意味着
$\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0$
有非零解

$\therefore R(A-\lambda E)<n$

意味着
$A-\lambda E$
的秩小于n，即不满秩，如果满秩的话，只有
$\alpha$
是零向量，才有解

不满秩的充要条件，有
$\left | A-\lambda E \right |=0$

向量的行列式为0，则该向量不满秩

最后，由
$\left | A-\lambda E \right |=0$
这个方程，解出
$\lambda$
的值

如何求特征值对应的特征向量

将上述
$\lambda$
的值，分别代入原方程
$\left (A-\lambda E \right ) \alpha =0$

可以分别求出其解
$\alpha$
，即为
$\lambda$
对应的特征向量

特征值和特征向量的一些性质

1、
$\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=tr(A)$

A矩阵特征值的和，等于A矩阵，主对角线上元素的和，叫做矩阵A的迹

证明：
$\left | A-\lambda E \right |=\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}-\lambda & &a_{2n} \\ .. .& ... & ... &... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )...(\lambda _{n}-\lambda )$

寻找
$\lambda ^{n-1}$
的系数，则只能在
$(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )(a_{33}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$
当中进行组合选择

$a_{11}(-\lambda) ^{n-1}+a_{22}(-\lambda) ^{n-1}+...a_{nn}(-\lambda) ^{n-1}=(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})(-\lambda) ^{n-1}=\lambda _{1}(-\lambda) ^{n-1}+\lambda _{2}(-\lambda) ^{n-1}+...\lambda _{n}(-\lambda) ^{n-1}=(\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n})(-\lambda) ^{n-1}$

$\therefore a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n}$

2、
$\lambda _{1}*\lambda _{2}*...*\lambda _{n}=\left | A \right |$

A矩阵特征值的积，等于A的行列式

令
$\lambda =0$
，则等式左端为A的行列式，等式右端，则为A矩阵特征值的积

3、不同特征值的特征向量之间，一定线性无关

证明：

设
$\lambda _{1}\lambda _{2}....\lambda _{s}$
是A的各不相同的特征向量

$\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}$
是与其对应的任一特征向量

使用数学归纳法

当n=1时，
$\alpha _{1}\neq 0$
，它自个儿自然是线性无关

当n=s-1时，设
$\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s-1}$
线性无关

当n=s时，如果可以证得
$\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}$
线性无关，则我们的假设成立

即证明
$k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0$
时，只有当k1、k2、k3…ks为0时等式成立

$k_{1}A\alpha _{1}+k_{2}A\alpha _{2}+k_{3}A\alpha _{3}+...k_{s}A\alpha _{s}=0$

我们将等式左乘矩阵A，因为k是数值可以移到左边去，然后根据
$A\alpha =\lambda \alpha$
的定义

$0=k_{1}A\alpha _{1}+k_{2}A\alpha _{2}+k_{3}A\alpha _{3}+...k_{s}A\alpha _{s}=k_{1}\lambda _{1}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{2}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{3}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}$

然后我们将
$k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0$
等式两边乘上
$\lambda _{s}$
，则可以得到

$k_{1}\lambda _{s}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{s}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{s}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}=0$

减去上面的等式

$k_{1}\lambda _{1}\alpha _{1}+k_{2}\lambda _{2}\alpha _{2}+k_{3}\lambda _{3}\alpha _{3}+...k_{s}\lambda _{s}\alpha _{s}=0$

得

$k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})\alpha _{1}+k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})\alpha _{2}+k_{3}(\lambda _{3}-\lambda _{s})\alpha _{3}+...k_{s}(\lambda _{s}-\lambda _{s}) \alpha _{s}=0$

这里面
$k_{s}(\lambda _{s}-\lambda _{s}) \alpha _{s}$
已经被消掉了，只剩下

$k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})\alpha _{1}+k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})\alpha _{2}+k_{3}(\lambda _{3}-\lambda _{s})\alpha _{3}+...k_{s-1}(\lambda _{s-1}-\lambda _{s}) \alpha _{s-1}=0$

我们已经知道
$\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s-1}$
是线性无关的了

就意味着

$k_{1}(\lambda _{1}-\lambda _{s})=0$

$k_{2}(\lambda _{2}-\lambda _{s})=0$

…

$k_{s-1}(\lambda _{s-1}-\lambda _{s})=0$

因为
$\lambda _{1}\lambda _{2}....\lambda _{s}$
是A的各不相同的特征向量，所以k1、k2…ks-1都为零

将k1到ks-1的值代回到
$k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0$

得到

$k_{s}\alpha _{s}=0$

所以ks也为零

我们就解出了
$k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}+...k_{s}\alpha _{s}=0$
这个等式下，k1、k2、k3…ks都为0，这意味着
$\alpha _{1}\alpha _{2}....\alpha _{s}$
线性无关，所以由数学归纳法可以证明

不同特征值的特征向量之间，一定线性无关

4、A的k重特征值
$\lambda$
线性无关的特征向量最多有k个

如果
$\lambda$
为单特征值（就是没有一样的特征向量），那么特征向量就只有1个

5、A矩阵逆的特征值为
$\frac{1}{\lambda }(\lambda \neq 0)$
，且特征向量为
$\alpha$