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两角和差正余弦公式的证明

北京四中数学组 皇甫力超

论文摘要：

本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。 在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。

关键词：

两角和差的正余弦公式

正文：

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角

,

的三角函数值表示

的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将

或

与

,

的三角函数联系起来。

根据诱导公式 , 由角

的三角函数可以得到

的三角函数。 因此 , 由和角公式容易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为

, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。

(一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式

注意到单位圆比较容易表示

,

和

, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系

与

,

的三角函数值的等式。

1. 和角余弦公式

(方法 1) 如图所示, 在直角坐标系

中作单位圆

, 并作角

,

和

, 使角

的始边为

, 交

于点

A

, 终边交

于点

B

；角

始边为

, 终边交

于点

C

；角

始边为

, 终边交

于点。从而点

A

,

B

,

C

和

D

的坐标分别为

,

,

,

。

由两点间距离公式得

；

。

注意到

, 因此

。

注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的

和

为任意角。

2. 差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2) 如图所示, 在坐标系

中作单位圆

, 并作角

和

, 使角

和

的始边均为

, 交

于点

C

, 角

终边交

于点

A

,角

终边交

于点。从而点

A

,

B

的坐标为

,

。

由两点间距离公式得

。

由余弦定理得

。

从而有

。

注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于

是三角形的内角。 因此, 还需要补充讨论角

和

的终边共线, 以及

大于

的情形。容易验证 , 公式在以上情形中依然成立。

在上边的证明中 , 用余弦定理计算

的过程也可以用勾股定理来进行。

(二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1. 和角正弦公式 (一)

(方法3) 如图所示,

为

的

边上的高 ,

为

边上的高。设

,

,

, 则。从而有

,

,

,

。

因此

,

。

注意到

,

从而有

,

整理可得

。

注记：在方法 3 中 , 用

和与底角

,

相关的三角函数, 从两个角度来表示

边上高

, 从而得到所希望的等式关系。 这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。

利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4) 如图所示,

为

的

边上的高 ,

为

边上的高。 设

,

, 则

。

注意到

, 则有

,即。

从而有




。

利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法 5) 如图所示 ,

为

的

边上的高。 设

,

, 则有


,。 由正弦定理可得

,

其中

d

为

的外接圆直径。

由

得

,

从而有

。

2. 和角正弦公式 ( 二 )

方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角

,

放在三角形的两个底角上。 如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法 ( 方法 6~11)。

(方法 6) 如图所示 , 作

于

D

, 交

外接圆于

E

, 连

和

。 设

,

,  则

,

,

。

设

的外接圆直径为 d, 则有,


,

,

。

所以有

。

注意到

, 从而

。

(方法 7) 如图所示 ,

为

的

边上的高 ,

为

边上的高。设

,

, 则

。 设

, 则

,

,

,

,


。

又

从而

。

整理可得

。

(方法 8) 如图所示 , 作

于

D

, 过

D

作

于

F

,

于

G

。  设

,

, 则

,设

, 从而

,

,

,

。

所以

。

注意到

, 则有

。

注记：我们用两种不同的方法计算

, 得到了和角的正弦公式。 如果我们用两种方法来计算

, 则可以得到和角的余弦公式。 由上图可得

,

,

从而有

。注意到

, 从而可得

。

方法 6,7 和 8 都是用角

,

的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。

(方法 9 ) 如图所示 , 设

为

的

边上的高。 设

,

,

,

, 从而有

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10) 如图所示 , 设

为

的外接圆直径d, 长度为d。 设

,

, 则

, 从而

注记：这一证明用到了托勒密定理：若

和

是圆内接四边形的对角线 , 则有

。

(方法 11) 如图所示 ,

为

的

边上的高。 设

,

, 则

。 设

, 则

方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角

,

相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 构造出我们希望的等式关系。

3. 差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。 方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

(方法 12) 如图所示 ,

。 设

,

, 记

, 作

于

E

, 则

,

, 从而有

(方法 13) 如图所示 ,

为

的外接圆直径 , 长度为 d。设

,

, 则

,


。 从而

方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。

很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 换言之 , 这两种方法中出现的角

,

是任意角。 而其余方法中 , 角

和

则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角 ( 甚至都是锐角 )。因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角

和

是任意角的情形。 具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意

成立 , 则对任意角也成立。

容易验证 , 角

和

中至少有一个是轴上角 ( 即终边在坐标轴上的角 ), 我们的公式是成立的。 下面证明 , 角

和

都是象限角 ( 即终边在坐标系的某一象限中的角 ) 时 , 我们的公式也成立。 不妨设

为第二象限角 ,

为第三象限角 , 从而有

从而

同理可证, 公式对于象限角

和

的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法 3~13 推导的公式推广到角

,

是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。 其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。 从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：

(1) 明确推导证明的目标：构造联系

和

三角函数与

或

的等式或方程 ；

(2) 简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ；

(3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系

和

三角函数与

或

的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；

(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。

参考文献：

1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。

2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 << 数学 ( 第一册下 )>>( 必修 ), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。