前言
前面主要讲述的是方程组和矩阵的关系，现在了解下矩阵和矩阵的关系
方阵的特征值与特征向量
假设A为n阶方阵，对于一个数
λ
\lambda
λ
若存在：非零列向量
α
\alpha
α
，使得：
A
α
⃗
=
λ
α
⃗
A\vec{\alpha}=\lambda\vec{\alpha}
A
α
=
λ
α
-
λ\lambda
λ
叫做矩阵A的一个特征值 -
α⃗
\vec{\alpha}
α
叫做对应特征值的特征向量
-
由于
α⃗
\vec\alpha
α
是非零列向量 -
把
λ\lambda
λ
作为未知量，
A−
λ
E
=
0
A-\lambda E = 0
A
−
λ
E
=
0
-
因为存在
λ\lambda
λ
解 =>
∣A
−
λ
E
∣
=
0
|A-\lambda E| = 0
∣
A
−
λ
E
∣
=
0
求解特征方程
给一个n阶矩阵A写出特征矩阵
(
4
−
2
1
1
)
−
(
λ
0
0
λ
)
=
(
4
−
λ
−
2
1
1
−
λ
)
\begin{pmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix} – \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}
(
4
1
−
2
1
)
−
(
λ
0
0
λ
)
=
(
4
−
λ
1
−
2
1
−
λ
)
将特征矩阵转为特征行列式
∣
4
−
λ
−
2
1
1
−
λ
∣
=
−
∣
1
1
−
λ
4
−
λ
−
2
∣
=
−
∣
1
1
−
λ
0
−
2
−
(
1
−
λ
)
∗
(
4
−
λ
)
∣
=
0
\begin{vmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 4- \lambda& – 2\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 0 & -2-(1-\lambda) *(4- \lambda) \end{vmatrix} = 0
4
−
λ
1
−
2
1
−
λ
=
−
1
4
−
λ
1
−
λ
−
2
=
−
1
0
1
−
λ
−
2
−
(
1
−
λ
)
∗
(
4
−
λ
)
=
0
求出根
λ
2
−
5
λ
+
6
=
0
⟹
λ
1
=
2
,
λ
2
=
3
\lambda^2-5\lambda + 6 =0 \Longrightarrow \lambda_1=2 ,\lambda_2=3
λ
2
−
5
λ
+
6
=
0
⟹
λ
1
=
2
,
λ
2
=
3
求解特征值对应的特征向量
-
将
λ1
=
2
,
λ
2
=
3
\lambda_1=2 ,\lambda_2=3
λ
1
=
2
,
λ
2
=
3
代入
（A
−
λ
E
）
α
⃗
=
0
（A-\lambda E）\vec{\alpha} = 0
（
A
−
λ
E
）
α
=
0
-
-
基本性质
- 特征值和特征向量，就是类似于 给“坐标” 求他的坐标系的问题。
- 特征值
λ\lambda
λ
用于消除“坐标”某一维度，得到 特征向量为这一维度的 “坐标系”- 如果出现了
λ\lambda
λ
N重根，则得到的特征向量 “坐标系” 包含N个维度
证明不同特征值对应的特征向量是线性无关的
方阵的迹
- 方阵的行列式=方阵的全部特征值之积
- 方阵主对角线元素之和=方阵的全部特征值之和
相似矩阵
相似矩阵的定义，可以用坐标系变换的视角来理解
- 需要把：A和B看做是两个变换
-
那么
A=
P
−
1
B
P
A=P^{-1}BP
A
=
P
−
1
BP
具体是指：- A是P坐标系下的一个<变换>
- 该<变换>若在标准坐标系下观察则是B变换
例如：在标准坐标系下有一个伸缩变换为B,在P坐标系下相同的伸缩变换观察到的是A
若A和B相似，因观察的视角不同，但本质是相同的变换
相似矩阵的性质
若A和B相似，即
A
∽
B
B
∽
A
A \backsim B \quad B \backsim A
A
∽
B
B
∽
A
- 相似矩阵的行列式值相同
- 相似矩阵的特征值相同
- 相似矩阵的秩相同
- 相似矩阵的迹相同
- 相似矩阵的可逆性相同
主要参考
《
11.3 求解特征值和特征向量（基础解系法）
》
《
11.4 特征值与特征向量的性质
》
《
11.5特征值与矩阵的迹
》
《
1.6 特征根的代数重数与几何重数
》
《
11.7 相似矩阵到底在说什么
》
《
证明：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式
》
《
浅谈矩阵的相似对角化
》