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机器学习–Logistic回归计算过程的推导

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(很多讲逻辑回归的文章都没有给出详细的推导，只是列出最后的计算公式，今天在网上看到一篇解释得非常详细的文章，赶紧转载一下：


【机器学习笔记1】Logistic回归总结

(http://blog.csdn.net/dongtingzhizi/article/details/15962797)

作者说”未经允许，不得转载”，我这里先冒犯了，如果觉得不合适，请告知。

)


Logistic回归总结

作者：洞庭之子

微博：

洞庭之子-Bing

（2013年11月）

PDF下载地址：

http://download.csdn.net/detail/lewsn2008/6547463



1.引言

看了Stanford的Andrew Ng老师的

机器学习

公开课中关于Logistic Regression的讲解，然后又看了《机器学习实战》中的LogisticRegression部分，写下此篇学习笔记总结一下。

首先说一下我的感受，《机器学习实战》一书在介绍原理的同时将全部的

算法

用源代码实现，非常具有操作性，可以加深对算法的理解，但是美中不足的是在原理上介绍的比较粗略，很多细节没有具体介绍。所以，对于没有基础的朋友（包括我）某些地方可能看的一头雾水，需要查阅相关资料进行了解。所以说，该书还是比较适合有基础的朋友。

本文主要介绍以下三个方面的内容：

（1）Logistic Regression的基本原理，分布在第二章中；

（2）Logistic Regression的具体过程，包括：选取预测函数，求解Cost函数和


J(θ)


，梯度下降法求


J(θ)


的最小值，以及递归下降过程的向量化（vectorization），分布在第三章中；

（3）对《机器学习实战》中给出的实现代码进行了分析，对阅读该书LogisticRegression部分遇到的疑惑进行了解释。没有基础的朋友在阅读该书的Logistic Regression部分时可能会觉得一头雾水，书中给出的代码很简单，但是怎么也跟书中介绍的理论联系不起来。也会有很多的疑问，比如：一般都是用梯度下降法求损失函数的最小值，为何这里用梯度上升法呢？书中说用梯度上升发，为何代码实现时没见到求梯度的代码呢？这些问题在第三章和第四章中都会得到解答。

文中参考或引用内容的出处列在最后的“参考文献”中。文中所阐述的内容仅仅是我个人的理解，如有错误或疏漏，欢迎大家批评指正。下面进入正题。



2. 基本原理

Logistic Regression和Linear Regression的原理是相似的，按照我自己的理解，可以简单的描述为这样的过程：

（1）找一个合适的预测函数（Andrew Ng的公开课中称为hypothesis），一般表示为


h


函数，该函数就是我们需要找的分类函数，它用来预测输入数据的判断结果。这个过程时非常关键的，需要对数据有一定的了解或分析，知道或者猜测预测函数的“大概”形式，比如是线性函数还是非线性函数。

（2）构造一个Cost函数（损失函数），该函数表示预测的输出（


h


）与训练数据类别（


y


）之间的偏差，可以是二者之间的差（


h-y


）或者是其他的形式。综合考虑所有训练数据的“损失”，将Cost求和或者求平均，记为


J(θ)


函数，表示所有训练数据预测值与实际类别的偏差。

（3）显然，


J(θ)


函数的值越小表示预测函数越准确（即


h


函数越准确），所以这一步需要做的是找到J(θ)函数的最小值。找函数的最小值有不同的方法，Logistic Regression实现时有的是梯度下降法（Gradient Descent）。



3. 具体过程



3.1  构造预测函数

Logistic Regression虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，用于两分类问题（即输出只有两种）。根据第二章中的步骤，需要先找到一个预测函数（


h


），显然，该函数的输出必须是两个值（分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：

对应的函数图像是一个取值在0和1之间的S型曲线（图1）。


图1

接下来需要确定数据划分的边界类型，对于图2和图3中的两种数据分布，显然图2需要一个线性的边界，而图3需要一个非线性的边界。接下来我们只讨论线性边界的情况。


图2


图3

对于线性边界的情况，边界形式如下：

构造预测函数为：




hθ(x)


函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：




3.2  构造Cost函数

Andrew Ng在课程中直接给出了Cost函数及


J(θ)


函数如式（5）和（6），但是并没有给出具体的解释，只是说明了这个函数来衡量


h


函数预测的好坏是合理的。



实际上这里的Cost函数和


J(θ)


函数是基于

最大似然估计

推导得到的。下面详细说明推导的过程。（4）式综合起来可以写成：


取似然函数为：

对数似然函数为：


最大似然估计就是要求得使


l(θ


)取最大值时的


θ


，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的


θ


就是要求的最佳参数。但是，在Andrew Ng的课程中将


J(θ)


取为（6）式，即：


因为乘了一个负的系数


-1/m


，所以


J(θ)


取最小值时的


θ


为要求的最佳参数。



3.3  梯度下降法求

J(θ)

的最小值

求


J(θ)


的最小值可以使用梯度下降法，根据梯度下降法可得


θ


的更新过程：

式中为


α


学习步长，下面来求偏导：


上式求解过程中用到如下的公式：


因此，（11）式的更新过程可以写成：

因为式中


α


本来为一常量，所以


1/m


一般将省略，所以最终的


θ


更新过程为：


另外，补充一下，3.2节中提到求得


l(θ

)

取最大值时的


θ


也是一样的，用梯度上升法求（9）式的最大值，可得：

观察上式发现跟（14）是一样的，所以，采用梯度上升发和梯度下降法是完全一样的，这也是《机器学习实战》中采用梯度上升法的原因。



3.4  梯度下降过程向量化

关于


θ


更新过程的vectorization，Andrew Ng的课程中只是一带而过，没有具体的讲解。

《机器学习实战》连Cost函数及求梯度等都没有说明，所以更不可能说明vectorization了。但是，其中给出的实现代码确是实现了vectorization的，图4所示代码的32行中weights（也就是


θ


）的更新只用了一行代码，直接通过矩阵或者向量计算更新，没有用for循环，说明确实实现了vectorization，具体代码下一章分析。

文献[3]中也提到了vectorization，但是也是比较粗略，很简单的给出vectorization的结果为：

且不论该更新公式正确与否，这里的

Σ(…)

是一个求和的过程，显然需要一个for语句循环m次，所以根本没有完全的实现vectorization，不像《机器学习实战》的代码中一条语句就可以完成


θ


的更新。

下面说明一下我理解《机器学习实战》中代码实现的vectorization过程。

约定训练数据的矩阵形式如下，


x


的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特称取值：


约定待求的参数


θ


的矩阵形式为：

先求


x.θ


并记为


A


：


求


hθ(x)-y


并记为


E


：



g(A)


的参数


A


为一列向量，所以实现


g


函数时要支持列向量作为参数，并返回列向量。由上式可知


hθ(x)-y


可以由


g(A)-y


一次计算求得。

再来看一下（15）式的


θ


更新过程，当


j=0


时：


同样的可以写出


θj


，


综合起来就是：


综上所述，vectorization后


θ


更新的步骤如下：

（1）求


A=x.θ


；

（2）求


E=g(A)-y


；

（3）求

θ:=θ-α.x’.E,

x’表示矩阵x的转置。

也可以综合起来写成：


前面已经提到过：1/m是可以省略的。



4. 代码分析

图4中是《机器学习实战》中给出的部分实现代码。


图4

sigmoid函数就是前文中的


g(z)


函数，参数

inX

可以是向量，因为程序中使用了

Python

的numpy。

gradAscent函数是梯度上升的实现函数，参数dataMatin和classLabels为训练数据，23和24行对训练数据做了处理，转换成numpy的矩阵类型，同时将横向量的classlabels转换成列向量labelMat，此时的dataMatrix和labelMat就是（18）式中的

x

和

y

。alpha为学习步长，maxCycles为迭代次数。weights为n维（等于


x


的列数）列向量，就是（19）式中的


θ


。

29行的for循环将更新


θ


的过程迭代maxCycles次，每循环一次更新一次。对比3.4节最后总结的向量化的


θ


更新步骤，30行相当于求了


A=x.θ


和


g(A)


，31行相当于求了


E=g(A)-y


，32行相当于求


θ:=θ-α.x’.E


。所以这三行代码实际上与向量化的


θ


更新步骤是完全一致的。

总结一下，从上面代码分析可以看出，虽然只有十多行的代码，但是里面却隐含了太多的细节，如果没有相关基础确实是非常难以理解的。相信完整的阅读了本文，就应该没有问题了！^_^。

【参考文献】

[1]《机器学习实战》——【美】Peter Harington

[2] Stanford机器学习公开课（

https://www.coursera.org/course/ml

）

[3]

http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7716281


[4]

http://www.cnblogs.com/tornadomeet/p/3395593.html


[5]

http://blog.csdn.net/moodytong/article/details/9731283


[6]

http://blog.csdn.net/jackie_zhu/article/details/8895270