Mathematica做微积分

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求极限



函数极限

计算函数极限的形式:Limit [ expr, x->x0]

求下列极限




(

1

)

lim

x

0

sin

(

a

x

)

x

\displaystyle(1) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (a x)}{x}






(


1


)













x





0









lim






























x














sin


(


a


x


)

























(

2

)

lim

x

1

(

m

1

x

m

n

1

x

n

)

\displaystyle(2) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)






(


2


)













x





1









lim





















(














1










x











m






















m






































1










x











n






















n





















)








不是所有的函数都有确定的极限。例如



lim

x

0

sin

(

1

/

x

)

\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(1/x)















x





0









lim



















sin


(


1


/


x


)





,极限不存在,在



0

0






0





附近,函数在



[

1

,

1

]

[-1, 1]






[





1


,




1


]





之间波动,Limit运算的结果是一个区间。



数列极限

数列的极限,可以用同样的形式进行计算。

计算数列的极限




(

1

)

lim

n

(

n

+

n

n

)

\displaystyle(1) \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})






(


1


)













n















lim

















(










n




+












n

































































n
























)









(

2

)

lim

n

n

!

n

n

\displaystyle(2) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{n^{n}}






(


2


)













n















lim































n











n






















n


!
























递归定义的数列极限





x

1

=

2

,

x

n

=

2

+

x

n

1

,

x_1=\sqrt{2},x_n=\sqrt{2+x_{n-1}},







x










1




















=
















2
























,





x










n




















=
















2




+





x











n





1









































,









lim

n

x

n

.

\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n.















n















lim




















x










n


















.






单侧极限


Limit[expr, x -> x0]

计算 x → x0时函数 expr 的极限


Limit[expr, x -> x0, Direction -> 1]

计算x → x0时函数 expr 的左极限


Limit[expr, x -> x0, Direction -> -1]

计算x → x0时函数 expr 的右极限

计算下列极限:




(

1

)

lim

x

0

+

log

(

x

)

x

\displaystyle(1) \lim _{

{x} \rightarrow 0^{+}} \frac{\log ({x})}{

{x}}






(


1


)














x







0











+

















lim































x















lo

g



(



x



)



























(

2

)

lim

x

Γ

(

x

+

1

2

)

x

Γ

(

x

)

\displaystyle(2) \lim _{

{x} \rightarrow \infty} \frac{\Gamma\left({x}+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{

{x}} \Gamma({x})}






(


2


)














x
















lim







































x

























Γ


(



x



)














Γ






(




x





+
















2
















1






















)


























累次极限

从 Mathematica 语言的语法上说,Limit 函数自己不带对多个变量取极限的功能即不能计算重极限,可以计算累次极限。

计算



lim

y

lim

x

(

x

y

x

2

+

y

2

)

x

2

\displaystyle\lim _{y \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}}















y















lim




























x















lim






















(















x











2












+





y











2






















x


y





















)














x











2






















还可以计算自变量沿某一固定路径趋向于固定点时,表达式的极限



渐近线

画出函数



f

(

x

)

=

(

x

5

)

2

3

(

x

+

1

)

\displaystyle f(x)=\frac{(x-5)^2}{3(x+1)}






f


(


x


)




=



















3


(


x




+




1


)














(


x









5



)










2






























的斜渐近线。

函数f(x)的渐近线是指:当



x

x\to\infty






x



















时,



f

(

x

)

f(x)






f


(


x


)





无限接近某一直线



y

=

x

+

b

y=x+b






y




=








x




+








b









lim

x

(

f

(

x

)

(

a

x

+

b

)

)

=

0

\displaystyle\lim_{x\to\infty} (f(x)-(a x+b))=0















x















lim

















(


f


(


x


)













(


a


x




+








b


)


)




=








0





,需要用极限的思想确定参数a和b的值。



微商和微分



微商(导数)

计算导数的命令是

D[f, x]



D[f, {x, n}]

,分别表示



f

(

x

)

f'(x)







f






















(


x


)









f

(

n

)

(

x

)

f ^{(n)}(x)







f











(


n


)










(


x


)





计算导数和偏导数是同一命令。

如果



f

f






f





是一元函数,

D[f, x]

表示



d

f

d

x

\dfrac{

{\rm d}f}{

{\rm d}x}



















d




x
















d




f























;如果



f

f






f





是多元函数,

D[f, x]

表示



f

x

\dfrac{\partial f}{\partial x}




















x

















f






















微商函数的常用形式如下:

D[f, x] 偏导数



f

x

\dfrac{\partial f}{\partial x}




















x

















f






















D[f, x1, x2, …, xn] 高阶偏导数



n

f

x

1

x

2

x

n

\dfrac{\partial^{n} f}{\partial x_1 \partial x_ 2 \ldots \partial x_ n}





















x










1






















x










2





























x










n











































n










f






















D[f, {x, n}]


n

n






n





阶导数



n

f

x

n

\dfrac{\partial ^n f}{\partial x^n}





















x










n

































n









f






















D[f, x, NonConstants → {y1, y2, …, ym}] 复合函数偏导数



f

x

,

y

1

,


,

y

m

\dfrac{\partial f}{\partial x},y_1,\cdots,y_m




















x

















f




















,





y










1


















,











,





y










m

























x

x






x





的函数

D[f, {

{x, y, z, …}}]
偏导向量



(

f

x

,

f

y

,

f

z

,

)

\left(\dfrac{\partial {f}}{\partial {x}}, \dfrac{\partial {f}}{\partial {y}}, \dfrac{\partial {f}}{\partial {z}}, \ldots\right)








(


















x



















f





















,



















y



















f





















,



















z



















f





















,








)






求函数



f

(

x

)

=

sin

(

x

2

+

x

)

f(x)=\sin \left(x^2+\sqrt{x}\right)






f


(


x


)




=








sin






(




x










2











+












x

























)











x

=

2

x = 2






x




=








2





处的导数



全微分

在Mathematica中,

D[f, x]

计算变量为 f 关于 x 的偏导数,系统默认f 中的其它变量与 x无关;


Dt[f]

给出f的全微分形式


Dt[f, x]

给出f的全导数,系统默认 f 中所有变量是 x 的函数。

对于f中不依赖于 x 的常量,要用选项 Constants -> {常量1, 常量2, …} 作出说明。




x

,

y

x, y






x


,




y





的函数关系由参数方程



x

=

2

t

2

,

y

=

sin

(

t

)

x = 2 t ^2, y = \sin(t)






x




=








2



t










2









,




y




=








sin


(


t


)





确定,求



y

y






y





关于



x

x






x





的二阶导数。



不定积分和定积分



不定积分

计算不定积分的命令是

Integrate[f, x]

,输出结果中省略积分常数。

计算二重积分的命令是

Integrate[f, x, y]

,积分的顺序是从右自左,先对变量y做积分计算,再对变量x做积分计算

Integreate主要计算只含有 “简单函数” 的被积函数。“简单函数” 包括有理函数、指数函数、对数函数、三角和反三角函数。

计算下列不定积分




(

1

)

3

a

x

2

d

x

\displaystyle(1) \int 3 {ax}^{2} \mathrm{d} {x}






(


1


)









3




a


x












2











d




x










(

2

)

x

2

a

2

d

x

\displaystyle(2) \int \sqrt{x^{2}-a^{2}} \mathrm{d} x






(


2


)


















x











2


















a











2

































d



x









(

3

)

cos

x

d

x

\displaystyle(3) \int \sqrt{\cos x} \mathrm{d} x






(


3


)

















cos




x

























d



x









(

4

)

1

1

+

x

4

d

x

\displaystyle(4) \int \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{d} x






(


4


)




















1




+





x











4






















1





















d



x






Integrate可以计算形式上的积分




e

x

(

f

(

x

)

+

f

(

x

)

)

d

x

\displaystyle\int e^x(f(x)+f'(x)) \mathrm{d} x












e










x









(


f


(


x


)




+









f






















(


x


)


)



d



x




Integrate可以计算分段函数积分





f

(

x

)

=

{

x

x

1

1

x

<

1

f(x)=\begin{cases}x \qquad x\geqslant1\\1\qquad x<1\end{cases}






f


(


x


)




=










{














x




x









1








1




x




<




1


























,求



f

(

x

)

d

x

\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} x











f


(


x


)



d



x




Mathematica可以对向量值函数积分

Mathematica提供如Bessel函数、Gamma函数 和Beta函数等二三十个数学物理特殊函数可以用来表示积分结果。




e

x

2

d

x

\displaystyle\int e^{-x^2} \mathrm{d} x












e















x










2


















d



x




Mathematica算不出结果的积分对被积函数做些化简外仍按Integrate形式输出



定积分


Integrate[f[x], {x, a, b}]

,可以计算



a

b

f

(

x

)

d

x

\displaystyle\int _a^b f(x) \mathrm{d} x


















a








b




















f


(


x


)



d



x





的准确解


NIntegrate[f[x], {x, a, b}]

,可以计算



a

b

f

(

x

)

d

x

\displaystyle\int _a^b f(x) \mathrm{d} x


















a








b




















f


(


x


)



d



x





的数值解



多重积分


Integrate [f, {x, a, b}, {y, c, d}]

,计算累次积分



a

b

d

x

c

d

f

(

x

,

y

)

d

y

\displaystyle\int _a^b \mathrm{d} x\int_c^df(x,y)\mathrm{d} y


















a








b





















d



x
















c








d




















f


(


x


,




y


)



d



y





的准确解.


NIntegrate [f, {x, a, b}, {y, c, d}]

,计算累次积分



a

b

d

x

c

d

f

(

x

,

y

)

d

y

\displaystyle\int _a^b \mathrm{d} x\int_c^df(x,y)\mathrm{d} y


















a








b





















d



x
















c








d




















f


(


x


,




y


)



d



y





的数值解.

计算区域



D

D






D





上的二重积分 ,



D

D






D









y

=

x

y = x






y




=








x





以及



x

x






x





轴,



x

=

1

x = 1






x




=








1





围成.



D

sin

(

x

+

2

y

)

d

x

d

y

\displaystyle \iint_D\sin(x+2y) \mathrm{d} x\mathrm{d} y


















D




















sin


(


x




+








2


y


)



d



x



d



y




计算



V

x

y

2

z

3

d

x

d

y

d

z

,

\displaystyle\iiint_Vxy^2z^3\mathrm{d} x\mathrm{d} y\mathrm{d} z,


















V




















x



y










2










z










3










d



x



d



y



d



z


,





其中



V

V






V





是由曲面



z

=

x

y

,

z

=

0

,

y

=

x

,

x

=

1

z = xy, z = 0, y = x, x = 1






z




=








x


y


,




z




=








0


,




y




=








x


,




x




=








1





围成。

计算两个圆柱体



x

2

+

y

2

=

1

,

x

2

+

z

2

1

x^2+y^2=1,x^2+z^2\leqslant 1







x










2











+









y










2











=








1


,





x










2











+









z










2




















1





相交部分的体积。

计算曲线积分



L

x

2

+

x

cos

x

d

s

L

\displaystyle\int _L x^2+x\cos x \mathrm{d} s,L


















L





















x










2











+








x




cos




x



d



s





L





是单位圆。

计算单位球面面积



级数



幂级数展开


Series[expr, {x, x0, n}]

将expr在x = x0点展开到n阶的幂级数


Series[expr, {x, x0, n}, {y, y0, m}]

先对y展开到m阶再对x展开n阶幂级数



展开式中可能将分数指数,对数函数等作为基本元素。



Series命令可以计算无界函数在瑕点的洛朗展开式,展开式的最高次数可以是负数。



Series命令可以计算函数在无穷远点的洛朗展开式



幂级数计算


幂级数求和





无穷乘积




求幂级数



n

=

0

x

4

n

+

1

4

n

+

1

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}















n


=


0



















































4


n




+




1















x











4


n


+


1































的收敛域与和函数。



检查端点是否收敛



两个端点都是发散点。收敛域(-1,1)


给出幂级数中某一项的系数


SeriesCoefficient[f, n]

级数f中x^n的系数


SeriesCoefficient[f, {x, x0, n}]

函数f在x0的展开式中 (x – x0)^n的系数




反函数级数



InverseSeries[s, {x, x0, n}]

给出级数s的反函数的幂级数展开式




幂级数复合


ComposeSeries[s1, s2]

表示用幂级数s2代换幂级数s1中的变量x



Fourier级数





对于以2L为周期的函数,要用

FourierParameters->{1,2Pi/L}

说明




正弦级数与余弦级数


FourierSinSeries[f[x], x, n]

f[x]是以2π为周期的函数,在[-π,π]上是奇函数


FourierCosSeries[f[x], x, n]

f[x]是以2π为周期的函数,在[-π,π]上是偶函数

若函数周期不是2π,同样用

FourierParameters

说明



微分方程



求解常微分方程

求解常微分方程和常微分方程组的一般形式:


DSolve[eqns, y[x], x]

解y(x)的微分方程或方程组 eqns,x为变量。


DSolve[eqns, y, x]

在纯函数的形式下求解

一般一个一阶线性微分方程都可以通过积分运算求解,但是如果方程的个数大于1,或阶数大于2,求解就没有固定的方法,一些简单的二阶线性方程的解被当做特殊函数来表示其它方程的解。



一些特殊类型的二阶线性微分方程可能有形式简单的解



三阶以上的方程只有极少的方程能够被解出

求解初值问题



(

1

+

x

2

)

y

+

2

x

y

6

x

2

2

=

0

,

y

(

1

)

=

0

,

y

(

1

)

=

0

\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 x^{2}-2=0, y(-1)=0, y^{\prime}(-1)=0








(



1




+





x











2











)







y



























+








2


x



y

































6



x











2





















2




=








0


,




y


(





1


)




=








0


,





y






















(





1


)




=








0




纯函数形式的解可以代入微分的运算

DSolve[eqns,y,x]



求解偏微分方程

求解偏微分方程的命令是


DSolve[eqn, y, {x1, x2, ..}]



DSolve[eqns, {y1,y2,..}, {x1, x2, ..}]

求解偏微分方程




y

(

x

1

,

x

2

)

x

1

+

y

(

x

1

,

x

2

)

x

2

=

1

x

1

x

2

\frac{\partial y({x} _1, {x} _2)}{\partial {x} _1}+\frac{\partial y({x} _1, {x} _2)}{\partial {x} _2}=\frac{1}{

{x}_ 1x_2}






















x











1

































y


(




x











1


















,






x











2


















)






















+
























x











2

































y


(




x











1


















,






x











2


















)






















=





















x











1



















x










2






























1























求解调和方程



u

x

x

+

u

y

y

=

0

u_{xx}+u_{yy}=0







u











x


x





















+









u











y


y





















=








0






参考资料


  1. 中国科学技术大学《符号计算语言Mathematica》



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