本篇笔记介绍了用于解方程组的克莱姆法则，该法则只适用于方程个数等于未知量个数的方程组；同时还介绍了齐次线性方程组，并讨论了方程组有零解或有非零解的条件。需要注意的是：克莱姆法则由于计算量比较大，一般不会直接用于求方程组的解，而是用于讨论方程组有零解或非零解。
1 Cramer 法则
克莱姆法则用于解方程组，只适用于方程个数等于未知量个数。
方程组
：
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
1
x
1
−
x
2
+
5
x
3
=
6
−
x
1
+
x
2
+
6
x
3
=
9
\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2+5x_3=6\\ -x_1+x_2+6x_3=9\\ \end{cases}
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
x
1
+
x
2
+
x
3
=
1
x
1
−
x
2
+
5
x
3
=
6
−
x
1
+
x
2
+
6
x
3
=
9
系数行列式
：方程组的系数组成的行列式。
D
=
∣
1
1
1
1
−
1
5
−
1
1
6
∣
D=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&5\\ -1&1&6\\ \end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
1
−
1
1
−
1
1
1
5
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
定理 1.5.1 克莱姆法则
：含有
n
n
n
个方程
n
n
n
个未知量的方程组，系数行列式不等于零，则
x
j
=
D
j
D
x_j=\frac{D_j}D
x
j
=
D
D
j
。式中
x
j
x_j
x
j
为对应未知数的值，
D
D
D
为系数行列式，
D
j
D_j
D
j
为方程组右边常数项替换
D
D
D
的第
j
j
j
列后的行列式。
上述方程组的
D
1
D_1
D
1
、
D
2
D_2
D
2
和
D
3
D_3
D
3
分别为：
D
1
=
∣
1
1
1
6
−
1
5
9
1
6
∣
D_1=\begin{vmatrix} \color{red}1&1&1\\ \color{red}6&-1&5\\ \color{red}9&1&6\\ \end{vmatrix}
D
1
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
6
9
1
−
1
1
1
5
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
D
2
=
∣
1
1
1
1
6
5
−
1
9
6
∣
D_2=\begin{vmatrix} 1&\color{red}1&1\\ 1&\color{red}6&5\\ -1&\color{red}9&6\\ \end{vmatrix}
D
2
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
1
−
1
1
6
9
1
5
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
D
3
=
∣
1
1
1
1
−
1
6
−
1
1
9
∣
D_3=\begin{vmatrix} 1&1&\color{red}1\\ 1&-1&\color{red}6\\ -1&1&\color{red}9\\ \end{vmatrix}
D
3
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
1
−
1
1
−
1
1
1
6
9
∣
∣
∣
∣
∣
∣
克莱姆法则成立的两个条件：
① 方程个数=未知量个数；
② 系数行列式D≠0。
例1：
略。
2 齐次线性方程组
齐次线性方程组右边常数项全为0，齐次线性方程组至少有0解。
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
0
x
1
−
x
2
+
5
x
3
=
0
−
x
1
+
x
2
+
6
x
3
=
0
\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ x_1-x_2+5x_3=0\\ -x_1+x_2+6x_3=0\\ \end{cases}
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
x
1
+
x
2
+
x
3
=
0
x
1
−
x
2
+
5
x
3
=
0
−
x
1
+
x
2
+
6
x
3
=
0
零解
：全都等于0的解；
非零解
：除了0解以外的解。
定理 1.5.2
：如果齐次线性方程组的方程个数等于未知量个数，并且系数行列式
D
≠
0
D≠0
D
=
0
，则方程组只有0解。
逆否命题
：若齐次线性方程组有非0解，则它的系数行列式必等于零（
D
=
0
D=0
D
=
0
）。
还可以证明，如果齐次线性方程组系数行列式等于零（
D
=
0
D=0
D
=
0
），那么齐次线性方程组一定有非0解。
充要条件
：也就是说：（方程个数等于未知量个数的）齐次线性方程组
有非0解
⟺
\iff
⟺
D
=
0
D=0
D
=
0
。
例2：以下齐次线性方程组中，问
a
,
b
,
c
a, b, c
a
,
b
,
c
满足何种关系时只有零解，或有非零解？
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
0
a
x
1
+
b
x
2
+
c
x
3
=
0
a
2
x
1
+
b
2
x
2
+
c
2
x
3
=
0
\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ ax_1+bx_2+cx_3=0\\ a^2x_1+b^2x_2+c^2x_3=0\\ \end{cases}
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
x
1
+
x
2
+
x
3
=
0
a
x
1
+
b
x
2
+
c
x
3
=
0
a
2
x
1
+
b
2
x
2
+
c
2
x
3
=
0
解：上述齐次线性方程组的系数行列式为：
D
=
∣
1
1
1
a
b
c
a
2
b
2
c
2
∣
D=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ \end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
a
a
2
1
b
b
2
1
c
c
2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
该行列式为范德蒙德行列式：
D
=
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
D=(b-a)(c-a)(c-b)
D
=
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
① 由定理定理
1.5.2
1.5.2
1
.
5
.
2
可知，
D
≠
0
D≠0
D
=
0
，齐次线性方程组只有零解，即：
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
≠
0
(b-a)(c-a)(c-b)≠0
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
0
所以，当
b
≠
c
b≠c
b
=
c
并且
c
≠
a
c≠a
c
=
a
并且
c
≠
b
c≠b
c
=
b
时，齐次线性方程组只有零解。
② 当
D
=
0
D=0
D
=
0
时，齐次线性方程组有非零解，即：
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
0
(b-a)(c-a)(c-b)=0
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
0
所以，当
b
=
c
b=c
b
=
c
或者
c
=
a
c=a
c
=
a
或者
c
=
b
c=b
c
=
b
时，齐次线性方程组有非零解。
例3：
略。
3 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.5 克莱姆法则