数值计算方法-误差

误差的来源与分类

1.模型误差

数学模型，即表示计算的公式或方程，本身就是近似的，就不就不精确，这种情况导致的误差，就叫模型误差。

2.观测误差

对物理世界中的参数进行观测时产生的误差，比如测定温度，长度，电压，无论用多么精密的工具，肯定都会存在误差。

3.截断误差（方法误差）

当数学模型不能得到精确解时，常要用数值方法求出它的近似解，近似解与精准解之间的误差，即为截断误差。可微函数f(x)用在x=0附近的值可以用泰勒展开式

在这里插入图片描述

近似公式代替，那么此刻的截断误差为

$\thetA$

4.舍入误差

由于计算机字长有限和浮点数表示方法的问题，计算机会按照舍入原则对超出其表示精度的数据舍入，导致结果的不精确。

例如

模型误差和截断误差的区别

根据前面所说，这两种误差都是公式上存在误差。

实际上泰勒公式本身这个模型是精确的，只是我们实际计算的数值方法是近似的，这就是二者区别。数学模型是精确的情况下，为了能够计算（无穷多项是计算不出来的），我们会使用带有截断误差的近似数值方法。

不言而喻在数值分析和计算方法这门课中，我们主要研究后面两种，即截断误差和舍入误差。

误差与有效数字

x

为

精

准

值

，

x

∗

为

x

的

近

似

值

，

则

称

e

∗

=

x

∗

−

x

为

近

似

值

的

绝

对

误

差

，

简

称

误

差

。

设x为精准值，x^{*}为x的近似值，则称e^{*}=x^{*}-x为近似值的绝对误差，简称误差。

$设 x 为精准值， x^{*} 为 x 的近似值，则称 e^{*} = x^{*} - x 为近似值的绝对误差，简称误差。$

e

∗

∣

<

ε

|e^{*}|<\varepsilon

$∣ e^{*} ∣ < ε$

称

ε

为

近

似

值

x

的

绝

对

误

差

限

或

者

绝

对

误

差

界

，

简

称

误

差

限

、

误

差

界

,

它

总

是

正

数

则称\varepsilon为近似值x的绝对误差限或者绝对误差界，简称误差限、误差界,它总是正数

$则称 ε 为近似值 x 的绝对误差限或者绝对误差界，简称误差限、误差界, 它总是正数$

当然误差限不能完全表示近似值的好坏。（例如x=10±1，与y=1000±5）所以，除了考虑误差大小之外，还应该考虑x本身的大小。

相对误差为

∗

−

∗

e^{*}_{r } = \frac{e}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*}\mathcal{}

$e_{r}^{*} = \frac{e}{x ^{*}} = \frac{x ^{*} - x}{x ^{*}}$

时

，

相

对

误

差

绝

对

值

的

上

界

∣

e

r

∣

≤

ε

r

=

ε

∣

x

∣

称

ε

为

相

对

误

差

限

或

相

对

误

差

界

同时，相对误差绝对值的上界 |e_r|\le\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{|x|} 称\varepsilon为相对误差限或相对误差界

$同时，相对误差绝对值的上界 ∣ e_{r} ∣ \leq ε_{r} = \frac{ε}{∣ x ∣} 称 ε 为相对误差限或相对误差界$

相对误差也可正可负，它的绝对值上限称为相对误差限

精

确

值

x

有

多

位

数

时

，

常

常

使

用

四

舍

五

入

的

原

则

得

到

x

的

前

几

位

近

似

值

x

∗

当精确值x有多位数时，常常使用四舍五入的原则得到x的前几位近似值x^*

$当精确值 x 有多位数时，常常使用四舍五入的原则得到 x 的前几位近似值 x^{*}$

如

x

=

π

=

3.14159265….

例如x=\pi=3.14159265….

$例如 x = π = 3.14159265 . . . .$

三

位

x

3

∗

,

ε

3

∗

<

=

0.002

取三位 x^*_3,\varepsilon^*_3<=0.002

$取三位 x_{3}^{*}, ε_{3}^{*} < = 0.002$

有效数字

数

x

是

x

∗

的

近

似

值

，

如

果

x

的

绝

对

误

差

限

是

它

的

某

一

数

位

的

半

个

单

位

，

并

且

从

x

左

起

第

一

个

非

零

数

字

到

该

位

共

有

n

位

，

那

么

就

称

这

n

个

数

字

为

x

的

有

效

数

字

，

也

称

用

x

近

似

x

∗

时

具

有

n

位

有

效

数

字

。

设数x是 x^* 的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该位共有n位，那么就称这n个数字为x的有效数字，也称用x近似x^* 时具有n位有效数字。

$设数 x 是 x^{*} 的近似值，如果 x 的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从 x 左起第一个非零数字到该位共有 n 位，那么就称这 n 个数字为 x 的有效数字，也称用 x 近似 x^{*} 时具有 n 位有效数字。$

x

∗

=

±

1

0

m

∗

(

a

1

+

a

2

∗

1

0

−

1

+

.

.

.

+

a

n

∗

1

0

−

(

n

−

1

)

)

其

中

a

i

是

0

到

9

中

的

一

个

数

字

，

a

1

!

=

0

，

且

则x^*=\pm10^m*(a_1+a_2*10^{-1}+…+a_n*10^{-(n-1)})其中a_i是0到9中的一个数字，a_1!=0，且

$则 x^{*} = \pm 1 0^{m} * (a_{1} + a_{2} * 1 0^{- 1} + . . . + a_{n} * 1 0^{- (n - 1)}) 其中 a_{i} 是 0 到 9 中的一个数字， a_{1}! = 0 ，且$

x

−

x

∗

∣

<

=

1

2

∗

1

0

m

−

n

+

1

|x-x^*|<=\frac12*10^{m-n+1}

$∣ x - x^{*} ∣ < = \frac{1}{2} * 1 0^{m - n + 1}$

注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差与误差限是有量纲。

定理一

近

似

数

x

∗

表

示

为

x

∗

=

±

1

0

m

∗

(

a

1

+

a

2

∗

1

0

−

1

+

.

.

.

+

a

l

∗

1

0

−

(

l

−

1

)

)

设近似数x^*表示为x^*=\pm10^m*(a_1+a_2*10^{-1}+…+a_l*10^{-(l-1)})

$设近似数 x^{*} 表示为 x^{*} = \pm 1 0^{m} * (a_{1} + a_{2} * 1 0^{- 1} + . . . + a_{l} * 1 0^{- (l - 1)})$

x

∗

有

n

位

有

效

数

字

，

则

其

相

对

误

差

限

ε

r

∗

<

=

1

(

2

a

1

)

∗

1

0

−

(

n

−

1

)

若x^*有n位有效数字，则其相对误差限\varepsilon^*_r<=\frac1{(2a_1)}*10^{-(n-1)}

$若 x^{*} 有 n 位有效数字，则其相对误差限 ε_{r}^{*} < = \frac{1}{( 2 a _{1} )} * 1 0^{- (n - 1)}$

之

，

若

x

∗

其

相

对

误

差

限

ε

r

∗

<

=

1

(

2

a

1

)

∗

1

0

−

(

n

−

1

)

,

则

x

∗

至

少

具

有

n

位

有

效

数

字

反之，若x^*其相对误差限\varepsilon^*_r<=\frac1{(2a_1)}*10^{-(n-1)},则x^*至少具有n位有效数字

$反之，若 x^{*} 其相对误差限 ε_{r}^{*} < = \frac{1}{( 2 a _{1} )} * 1 0^{- (n - 1)}, 则 x^{*} 至少具有 n 位有效数字$

原文链接：https://blog.csdn.net/qq_44038534/article/details/108630571

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