1.从概率到条件概率
1.1.条件概率的发生背景
从这一节开始，我们就正式进入到概率统计的内容板块中了。
对于概率，相信大家都不会陌生，在各阶段的数学课上，他都是高频出现的常客，最简单的概率场景比如掷骰子，我问你：第一次掷出的点数为
5
5
5
的概率为多大？你会毫不犹豫的说出答案：
1
6
\frac{1}{6}
6
1
。
这太简单了，如果我们只满足于此，就没有什么意义了。接下来我增加一个限定条件：已知在抛出骰子是奇数的情况下，抛掷点数为
5
5
5
的可能性有多大？
发现了没有，在第二个问题中我们就没有直接的只问投掷出
5
5
5
这个事件的概率，而是增加了一个前提条件：这次抛掷出的点数为奇数。
生活中这类场景更多，我们一般不会直接去推断一个事件发生的可能性，因为这样实际意义并不明显，而且也不容易推断出结果，比如我们问你今天下雨的概率是多大？你可能是一头雾水，什么地点？什么月份？当日云层的厚度？这些条件都没有告诉，我想是无法给出一个有意义、有价值的合理推断的。
而且在实际情况下，一个事件一般而言也不会是孤立的发生，也都会伴随着其他的一些事情或表现一同出现，单独的谈一个事件的概率，一般而言也是不存在的。
因此，在实际的应用中，我们更关心的是条件概率，也就是在给定部分信息的基础上对试验结果的推断。这些给定的信息就是我们附加的条件，是我们研究时关注的重点。
1.2.条件概率的具体描述
这里，我们来具体描述一下条件概率：
假设我们知道给定事件
B
B
B
已经发生，在此基础上希望知道另一个事件
A
A
A
发生的可能性，此时我们就需要构造出
条件概率
，它需要先顾及事件
B
B
B
已经发生的信息，然后再求出事件
A
A
A
发生的概率。
这个条件概率描述的就是在给定事件
B
B
B
发生的情况下，事件
A
A
A
发生的概率，我们专门把他记作：
P
(
A
∣
B
)
P(A|B)
P
(
A
∣
B
)
。
那我们回到投掷骰子的问题中来，在投出奇数点数骰子的前提下，投出
5
5
5
的概率有多大？奇数点数一共有
{
1
,
3
,
5
}
\{1,3,5 \}
{
1
,
3
,
5
}
三种，其中出现
5
5
5
的概率是
1
3
\frac{1}{3}
3
1
。很明显，和单独问投出点数是
5
5
5
的概率计算结果是不同的。
下面我们来抽象一下条件概率的场景。
我们再回到最简单、最容易理解的情景下来看，即在古典概率的模式下来分析：假定一个试验有
N
N
N
个等可能的结果，事件
A
A
A
和
B
B
B
分别包含
M
1
M_1
M
1
个和
M
2
M_2
M
2
个结果，这其中有
M
12
M_{12}
M
1
2
个结果是公共的，这就是同时发生事件
A
A
A
和事件
B
B
B
，即
A
∩
B
A\cap B
A
∩
B
事件所包含的试验结果数。
形象的描述一下上述场景，如图所示：
那我问你，单纯的发生事件
A
A
A
和事件
B
B
B
的概率是多少？你肯定是脱口而出，分别是
M
1
N
\frac{M_1}{N}
N
M
1
和
M
2
N
\frac{M_2}{N}
N
M
2
，那进一步到条件概率中来，已知在事件
B
B
B
发生的前提条件下，事件
A
A
A
发生的概率是多少？
则此时，我们的整体考虑范围由最开始的
N
N
N
个全部的可能结果局限到现在的
M
2
M_2
M
2
个结果，即
B
B
B
事件发生的结果范围，而这其中只有
M
12
M_{12}
M
1
2
个结果对应事件
A
A
A
的发生，那么我们不难计算出，条件概率
P
(
A
∣
B
)
=
M
12
M
2
P(A|B)=\frac{M_{12}}{M_2}
P
(
A
∣
B
)
=
M
2
M
1
2
。
1.3.条件概率的表达式分析
为了更加深入的挖掘这里面的内涵，我们进一步的对条件概率的表达式
P
(
A
∣
B
)
=
M
12
M
2
P(A|B)=\frac{M_{12}}{M_2}
P
(
A
∣
B
)
=
M
2
M
1
2
进行展开：
P
(
A
∣
B
)
=
M
12
M
2
=
(
M
12
/
N
)
(
M
2
/
N
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
P(A|B)=\frac{M_{12}}{M_2}=\frac{(M_{12}/N)}{(M_2/N)}=\frac{P(AB)}{P(B)}
P
(
A
∣
B
)
=
M
2
M
1
2
=
(
M
2
/
N
)
(
M
1
2
/
N
)
=
P
(
B
)
P
(
A
B
)
由此，我们得到了条件概率的一般定义：
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
B
)
P
(
A
B
)
。
2.两个事件的独立性
我们在上面的例子中，进一步的进行分析，我们发现事件
A
A
A
的无条件概率
P
(
A
)
P(A)
P
(
A
)
与其在给定事件
B
B
B
发生下的条件概率
P
(
A
∣
B
)
P(A|B)
P
(
A
∣
B
)
显然是不同的，即：
P
(
A
∣
B
)
≠
P
(
A
)
P(A|B)\neq P(A)
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
)
，而这也是非常普遍的一种情况，这两个概率值一般都存在着差异。
其实，这反映了两个事件之间存在着一些关联，假如满足
P
(
A
∣
B
)
>
P
(
A
)
P(A|B)>P(A)
P
(
A
∣
B
)
>
P
(
A
)
，则我们可以说事件
B
B
B
的发生使得事件
A
A
A
的发生可能性增大了，即事件
B
B
B
促进了事件
A
A
A
的发生。
但是如果
P
(
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
P(A)=P(A|B)
P
(
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
呢，这种情况也是存在的，而且这是一种非常重要的情况，他意味着事件
B
B
B
的发生与否对事件
A
A
A
发生的可能性毫无影响。这时，我们就称
A
A
A
,
B
B
B
这两个事件独立，并由条件概率的定义式进行转换可以得到：
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
⇒
P
(
A
B
)
=
P
(
A
∣
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B) } \Rightarrow P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
B
)
P
(
A
B
)
⇒
P
(
A
B
)
=
P
(
A
∣
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
实际上，我们拿这个式子来刻画独立性，比单纯使用表达式
P
(
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
P(A)=P(A|B)
P
(
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
要更好一些，因为
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB)=P(A)P(B)
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
这个表达式不受概率
P
(
B
)
P(B)
P
(
B
)
是否为
0
0
0
的因素制约。
由此我们说，如果
A
A
A
和
B
B
B
两个事件满足
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB)=P(A)P(B)
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
，则称事件
A
A
A
和事件
B
B
B
独立。
3.从条件概率到全概率公式
首先我们假设
B
1
,
B
2
,
B
3
,
.
.
.
,
B
n
B_1,B_2,B_3,…,B_n
B
1
,
B
2
,
B
3
,
.
.
.
,
B
n
为有限个或无限可数个事件，他们之间两两互斥且在每次试验中至少发生其中一个，我们用图直观的表示如下：
我们用表达式描述上面这幅图的含义就是：
B
i
B
j
=
ϕ
B_iB_j=\phi
B
i
B
j
=
ϕ
B
1
+
B
2
+
B
3
.
.
.
+
B
n
=
Ω
B_1+B_2+B_3…+B_n=\Omega
B
1
+
B
2
+
B
3
.
.
.
+
B
n
=
Ω
现在我们接着引入另一个事件
A
A
A
，如下图所示：
很明显，因为
Ω
\Omega
Ω
是一个必然事件（换句话说就是事件全集），因此有
P
(
A
)
=
P
(
A
Ω
)
P(A)=P(A \Omega )
P
(
A
)
=
P
(
A
Ω
)
，进一步进行推导有：
P
(
A
)
=
P
(
A
Ω
)
=
P
(
A
B
1
+
A
B
2
+
A
B
3
+
.
.
.
+
A
B
n
)
P(A)=P(A\Omega)=P(AB_1+AB_2+AB_3+…+AB_n)
P
(
A
)
=
P
(
A
Ω
)
=
P
(
A
B
1
+
A
B
2
+
A
B
3
+
.
.
.
+
A
B
n
)
，因为事件
B
i
,
B
j
B_i,B_j
B
i
,
B
j
两两互斥，显然
A
B
1
,
A
B
2
,
A
B
3
,
.
.
.
,
A
B
n
AB_1,AB_2,AB_3,…,AB_n
A
B
1
,
A
B
2
,
A
B
3
,
.
.
.
,
A
B
n
也两两互斥，因此就有：
P
(
A
)
=
P
(
A
B
1
)
+
P
(
A
B
2
)
+
P
(
A
B
3
)
+
.
.
.
+
P
(
A
B
n
)
P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+P(AB_3)+…+P(AB_n)
P
(
A
)
=
P
(
A
B
1
)
+
P
(
A
B
2
)
+
P
(
A
B
3
)
+
.
.
.
+
P
(
A
B
n
)
再由条件概率公式
P
(
A
B
i
)
=
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
P(AB_i)=P(B_i)P(A|B_i)
P
(
A
B
i
)
=
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
进行代入，将上式转换得到：
P
(
A
)
=
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
+
P
(
B
2
)
P
(
A
∣
B
2
)
+
.
.
.
+
P
(
B
n
)
P
(
A
∣
B
n
)
P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+…+P(B_n)P(A|B_n)
P
(
A
)
=
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
+
P
(
B
2
)
P
(
A
∣
B
2
)
+
.
.
.
+
P
(
B
n
)
P
(
A
∣
B
n
)
这就是我们最终得到的
全概率公式
，“全”字的意义在于：全部的概率
P
(
A
)
P(A)
P
(
A
)
被分解成了许多的部分概率之和。
我们再次回过头来看看全概率公式的表达式，我们从式子里可以非常直观的发现：事件
A
A
A
的概率
P
(
A
)
P(A)
P
(
A
)
应该处于最小的
P
(
A
∣
B
i
)
P(A|B_i)
P
(
A
∣
B
i
)
和最大的
P
(
A
∣
B
j
)
P(A|B_j)
P
(
A
∣
B
j
)
之间，它不是所有条件概率
P
(
A
∣
B
k
)
P(A|B_k)
P
(
A
∣
B
k
)
的算术平均，因为他们各自被使用的机会( 即
P
(
B
i
)
P(B_i)
P
(
B
i
)
)各不相同。因此全概率
P
(
A
)
P(A)
P
(
A
)
就是各
P
(
A
∣
B
k
)
P(A|B_k)
P
(
A
∣
B
k
)
以
P
(
B
k
)
P(B_k)
P
(
B
k
)
为权的加权平均值。
全概率公式的实际价值在于，很多时候，我们直接去计算事件
A
A
A
的概率是比较困难的，但是如果条件概率
P
(
A
∣
B
k
)
P(A|B_k)
P
(
A
∣
B
k
)
是已知的，或很容易被我们推导计算时，全概率公式就成了计算概率
P
(
A
)
P(A)
P
(
A
)
的很好的途径。
4.聚焦贝叶斯公式
4.1.贝叶斯公式概述
了解了全概率公式之后，我们可以进一步的处理条件概率的表达式，得到下面这个式子：
P
(
B
i
∣
A
)
=
P
(
A
B
i
)
P
(
A
)
=
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
P
(
A
)
P(B_i|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}
P
(
B
i
∣
A
)
=
P
(
A
)
P
(
A
B
i
)
=
P
(
A
)
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
=
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
+
P
(
B
2
)
P
(
A
∣
B
2
)
+
.
.
.
+
P
(
B
n
)
P
(
A
∣
B
n
)
=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+…+P(B_n)P(A|B_n)}
=
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
+
P
(
B
2
)
P
(
A
∣
B
2
)
+
.
.
.
+
P
(
B
n
)
P
(
A
∣
B
n
)
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
这就是大名鼎鼎的贝叶斯公式。
这个式子你千万不要觉得他平淡无奇，觉得仅仅只是数学式子的推导和罗列。这一个公式里包含了全概率公式、条件概率、贝叶斯准则，我们来挖掘一下里面所蕴藏的最重要的内涵：
贝叶斯公式将条件概率
P
(
A
∣
B
)
P(A|B)
P
(
A
∣
B
)
和条件概率
P
(
B
∣
A
)
P(B|A)
P
(
B
∣
A
)
紧密的联系了起来，其最根本的数学基础就是因为
P
(
A
∣
B
)
P
(
B
)
=
(
B
∣
A
)
P
(
A
)
P(A|B)P(B)=(B|A)P(A)
P
(
A
∣
B
)
P
(
B
)
=
(
B
∣
A
)
P
(
A
)
，他们都等于
P
(
A
B
)
P(AB)
P
(
A
B
)
。
那这里面具体的深刻内涵是什么呢？我们接着往下看：
4.2.本质内涵：由因到果，由果推因
现实中，我们可以把事件
A
A
A
看成是结果，把事件
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
B
n
B_1,B_2,…,B_n
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
B
n
看成是导致这个结果的各种可能的原因。
那么，我们所介绍的全概率公式
P
(
A
)
=
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
+
P
(
B
2
)
P
(
A
∣
B
2
)
+
.
.
.
+
P
(
B
n
)
P
(
A
∣
B
n
)
P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+…+P(B_n)P(A|B_n)
P
(
A
)
=
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
+
P
(
B
2
)
P
(
A
∣
B
2
)
+
.
.
.
+
P
(
B
n
)
P
(
A
∣
B
n
)
就是由各种原因推理出结果事件发生的概率，是
由因到果
；
但是，更重要、更实际的应用场景是，我们在日常生活中常常是观察到某种现象，然后去反推造成这种现象的各种原因的概率。简单点说，就是
由果推因
。
贝叶斯公式
P
(
B
i
∣
A
)
=
P
(
A
B
i
)
P
(
A
)
=
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
∑
j
P
(
B
j
)
P
(
A
∣
B
j
)
P(B_i|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j}{P(B_j)P(A|B_j)}}
P
(
B
i
∣
A
)
=
P
(
A
)
P
(
A
B
i
)
=
∑
j
P
(
B
j
)
P
(
A
∣
B
j
)
P
(
B
i
)
P
(
A
∣
B
i
)
，最终求得的就是条件概率
P
(
B
i
∣
A
)
P(B_i|A)
P
(
B
i
∣
A
)
，就是在观察到结果事件
A
A
A
已经发生的情况下，我们推断结果事件
A
A
A
是由原因
B
i
B_i
B
i
造成的概率的大小，以支撑我们后续的判断。
那么我们可以说，单纯的概率
P
(
B
i
)
P(B_i)
P
(
B
i
)
我们叫做
先验概率
，指的是在没有别的前提信息情况下的概率值，这个值一般需要借助我们的经验估计得到。
而条件概率
P
(
B
i
∣
A
)
P(B_i|A)
P
(
B
i
∣
A
)
，我们把他叫做是
后验概率
，他代表了在获得了信息
A
A
A
之后
B
i
B_i
B
i
出现的概率，可以说后验概率是先验概率在获取了新信息之后的一种修正。
4.3.贝叶斯公式的应用举例
比如，贝叶斯公式应用的一个常见例子就是
X
X
X
光片的病理推断案例，在某个病人的
X
X
X
光片中，医生看到了一个阴影，这就是结果事件
A
A
A
，我们希望对造成这个结果的三种可能原因（即：原因
1
1
1
：恶性肿瘤；原因
2
2
2
：良性肿瘤；原因
3
3
3
：其他原因）进行分析判断，推断分属于各个原因的概率，如图所示：
例如，我们想求出原因是恶性肿瘤的概率，也就是求条件概率：
P
(
B
1
∣
A
)
P(B_1|A)
P
(
B
1
∣
A
)
的值。
我们只要知道在这三种原因下出现阴影的概率，也就是
P
(
A
∣
B
1
)
P(A|B_1)
P
(
A
∣
B
1
)
，
P
(
A
∣
B
2
)
P(A|B_2)
P
(
A
∣
B
2
)
，
P
(
A
∣
B
3
)
P(A|B_3)
P
(
A
∣
B
3
)
，以及三种原因的先验概率：
P
(
B
1
)
P(B_1)
P
(
B
1
)
，
P
(
B
2
)
P(B_2)
P
(
B
2
)
，
P
(
B
3
)
P(B_3)
P
(
B
3
)
，就能通过贝叶斯公式
P
(
B
1
∣
A
)
=
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
+
P
(
B
2
)
P
(
A
∣
B
2
)
+
P
(
B
3
)
P
(
A
∣
B
3
)
P(B_1|A)=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)}
P
(
B
1
∣
A
)
=
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
+
P
(
B
2
)
P
(
A
∣
B
2
)
+
P
(
B
3
)
P
(
A
∣
B
3
)
P
(
B
1
)
P
(
A
∣
B
1
)
求得，而上述这些需要我们知道的值，基本上都可以通过历史统计数据得到。
5.全文思路梳理
这一小节里，我们从概率到条件概率，再到全概率公式，最终聚焦到贝叶斯公式，主要是从概念的层面一路梳理过来，目的是想帮助大家迅速形成一套以条件概率为基石的认识世界的视角，理解好条件概率的重要性不言而喻，他将贯穿于我们整个概率统计课程体系。