AHP
1.问题提出
日常生活中有很多的决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准（一个或多个）选择某一种方案。
例，择业：
面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途等因素择业。
2.概念提出
3.层次分析法的基本思路
4.层次分析法的基本步骤
4.1 建立层次结构模型
将问题包含的因素分层：
1.最高层（解决问题的目的）；
2.中间层（选择为实现总目标而采取的各种措施、方案所必须遵循的准则。也可称策略层、约束层、准则层等）；
3.最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。
如上例：
假设小明选择了高校、科研单位、企业作为择业目标，以工作环境，工作待遇，发展前途三个指标.
4.2 构建成对比较矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果（个人理解是直接判断每个因素的占比），则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出一致矩阵法。
1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。
2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。
引入判断的标度方法：
| 评估尺度 | 定义 | 说明 |
|---|---|---|
| 1 | 同等重要 | 两要素的贡献程度具同等重要性 |
| 3 | 稍微重要 | 经验与判断稍微偏好某一要素 |
| 5 | 颇为重要 | 经验与判断强烈偏好某一要素 |
| 7 | 极为重要 | 实际显示非常强烈偏好某一要素 |
| 9 | 绝对重要 | 有足够证据肯定绝对偏好某一要素 |
| 2,4,6,8 | 相邻尺度之中间值 | 介于两种判断之间 |
| 工作环境 | 工资待遇 | 发展前途 | |
|---|---|---|---|
| 工作环境 | 1 | ||
| 工资待遇 | 1 | ||
| 发展前途 | 1 |
再次引用上例，如果我们觉得：
1.工资待遇比工资环境稍微重要，工资待遇/工资环境=3
2.发展前途和工资待遇介于稍微重要和同等重要之间，发展前途/工资待遇=2
3.发展前途比工资环境极为重要，发展前途/工资待遇=7
得到下表：
| 工作环境 | 工资待遇 | 发展前途 | |
|---|---|---|---|
| 工作环境 | 1 | 1/3 | 1/7 |
| 工资待遇 | 3 | 1 | 1/2 |
| 发展前途 | 7 | 2 | 1 |
得到矩阵：记为
A
A
A
， 对应的元素为
a
i
j
a_{ij}
a
i
j
A
=
[
1
1
/
3
1
/
7
3
1
1
/
2
7
2
1
]
A = \left[ \begin{matrix} 1&1/3&1/7\\ 3&1&1/2 \\ 7&2&1 \end{matrix} \right]
A
=
⎣
⎡
1
3
7
1
/
3
1
2
1
/
7
1
/
2
1
⎦
⎤
其中：
a
i
j
a_{ij}
a
i
j
表示，与指标
j
j
j
相比，
i
i
i
的重要程度。
4.3 做一致性检验
从理论上分析得到：如果
A
A
A
是完全一致的成对比较矩阵，应该有
a
12
a
23
=
a
13
a_{12}a_{23}=a_{13}
a
1
2
a
2
3
=
a
1
3
1
/
2
∗
1
/
3
=
1
/
6
1/2 *1/3=1/6
1
/
2
∗
1
/
3
=
1
/
6
而实际上，
a
13
=
1
/
7
a_{13} = 1/7
a
1
3
=
1
/
7
例如：
工资待遇/工资环境=3
发展前途/工资待遇=2
此时，如果完全一致，发展前途/工资待遇 应该等于6，而我们标度，发展前途/工资待遇=7
对比较矩阵时要求满足完全满足是不太可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
检验步骤：
1.计算衡量一个成对比较矩阵 A （n>1 阶方阵）不一致程度的指标CI
C
I
=
λ
m
a
x
(
A
)
−
n
n
−
1
CI=\frac{\lambda_{max}(A)-n}{n-1}
C
I
=
n
−
1
λ
m
a
x
(
A
)
−
n
2.查找对应的平均随机一致性指标RI
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| RI | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 | 1.52 | 1.54 | 1.56 | 1.58 | 1.59 |
3.计算一致性比例CR
C
R
=
C
I
R
I
CR=\frac{CI}{RI}
C
R
=
R
I
C
I
判断方法如下：
当CR<0.1时，判定成对比较阵 A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。
对上例矩阵
A
=
[
1
1
/
3
1
/
7
3
1
1
/
2
7
2
1
]
A = \left[ \begin{matrix} 1&1/3&1/7\\ 3&1&1/2 \\ 7&2&1 \end{matrix} \right]
A
=
⎣
⎡
1
3
7
1
/
3
1
2
1
/
7
1
/
2
1
⎦
⎤
计算得到
λ
m
a
x
(
A
)
=
3.003
,
C
I
=
λ
m
a
x
(
A
)
−
3
3
−
1
=
0.0013
\lambda_{max}(A)=3.003,CI=\frac{\lambda_{max}(A)-3}{3-1}=0.0013
λ
m
a
x
(
A
)
=
3
.
0
0
3
,
C
I
=
3
−
1
λ
m
a
x
(
A
)
−
3
=
0
.
0
0
1
3
,因为
n
=
3
n=3
n
=
3
，查得
R
I
=
0.52
RI=0.52
R
I
=
0
.
5
2
，
C
R
=
C
I
R
I
=
0.0013
0.52
=
0.0025
<
0.1
CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.0013}{0.52}=0.0025<0.1
C
R
=
R
I
C
I
=
0
.
5
2
0
.
0
0
1
3
=
0
.
0
0
2
5
<
0
.
1
这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。
4.4 层次总排序及决策
现在完整解决例题，从高校和企业选择一个最符合上述3个因素的就业地点。
对此，对高校和企业分别比较它们的工作环境，工资待遇，发展前途.
| 工作环境 | 高校 | 科研单位 | 企业 |
|---|---|---|---|
| 高校 | 1 | 3 | 5 |
| 科研单位 | 1/3 | 1 | 4 |
| 企业 | 1/5 | 1/4 | 1 |
得到方阵：
B
1
=
[
1
3
5
1
/
3
1
4
1
/
5
1
/
4
1
]
B1 = \left[ \begin{matrix} 1&3&5\\ 1/3&1&4\\ 1/5&1/4&1 \end{matrix} \right]
B
1
=
⎣
⎡
1
1
/
3
1
/
5
3
1
1
/
4
5
4
1
⎦
⎤
| 工资待遇 | 高校 | 科研单位 | 企业 |
|---|---|---|---|
| 高校 | 1 | 1/7 | 1/5 |
| 科研单位 | 7 | 1 | 3 |
| 企业 | 5 | 1/3 | 1 |
得到方阵：
B
2
=
[
1
1
/
7
1
/
5
7
1
3
5
3
1
]
B2 = \left[ \begin{matrix} 1&1/7&1/5\\ 7&1&3\\ 5&3&1 \end{matrix} \right]
B
2
=
⎣
⎡
1
7
5
1
/
7
1
3
1
/
5
3
1
⎦
⎤
| 发展前途 | 高校 | 科研单位 | 企业 |
|---|---|---|---|
| 高校 | 1 | 1/5 | 1/3 |
| 科研单位 | 5 | 1 | 2 |
| 企业 | 3 | 1/2 | 1 |
得到方阵：
B
3
=
[
1
1
/
5
1
/
3
5
1
2
3
1
/
2
1
]
B3 = \left[ \begin{matrix} 1&1/5&1/3\\ 5&1&2\\ 3&1/2&1 \end{matrix} \right]
B
3
=
⎣
⎡
1
5
3
1
/
5
1
1
/
2
1
/
3
2
1
⎦
⎤
同时也计算这三个判断矩阵的
C
R
CR
C
R
,经计算
C
R
(
B
1
)
=
0.08246797115384596
CR(B1) = 0.08246797115384596
C
R
(
B
1
)
=
0
.
0
8
2
4
6
7
9
7
1
1
5
3
8
4
5
9
6
C
R
(
B
2
)
=
0.09039914423076918
CR(B2)= 0.09039914423076918
C
R
(
B
2
)
=
0
.
0
9
0
3
9
9
1
4
4
2
3
0
7
6
9
1
8
C
R
(
B
3
)
=
0.003552500000000206
CR(B3)=0.003552500000000206
C
R
(
B
3
)
=
0
.
0
0
3
5
5
2
5
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
6
都可以接受
计算权重：
1.将判断矩阵按照列归一化
(每一个元素出意其所在列的和)
| 工作环境 | 高校 | 科研单位 | 企业 |
|---|---|---|---|
| 高校 | 0.652 | 0.706 | 0.5 |
| 科研单位 | 0.217 | 0.235 | 0.4 |
| 企业 | 0.130 | 0.059 | 0.1 |
2.将同属于一个因素的值相加并除以
n
n
n
得
| 工作环境 | 权重 |
|---|---|
| 高校 | 0.610 |
| 科研单位 | 0.284 |
| 企业 | 0.096 |
同理，
| 工资待遇 | 权重 |
|---|---|
| 高校 | 0.072 |
| 科研单位 | 0.589 |
| 企业 | 0.339 |
| 发展前途 | 权重 |
|---|---|
| 高校 | 0.109 |
| 科研单位 | 0.570 |
| 企业 | 0.321 |
| 指标权重 | |
|---|---|
| 工作环境 | 0.092 |
| 工资待遇 | 0.282 |
| 发展前途 | 0.626 |
汇总结果，得到权重矩阵
| 指标权重 | 高校 | 科研单位 | 企业 | |
|---|---|---|---|---|
| 工作环境 | 0.092 | 0.610 | 0.284 | 0.096 |
| 工资待遇 | 0.282 | 0.072 | 0.589 | 0.339 |
| 发展前途 | 0.626 | 0.109 | 0.570 | 0.321 |
计算得，高校=0.092×0.060+0.282×0.072+0.626×0.109=0.145
同理，科研单位=0.549
企业=0.305
综上，择业应该选择科研单位
5.参考文献
- 层次分析法-MBA智库 https://wiki.mbalib.com/wiki/AHP
- 数学建模清风课程笔记
-
百度文库链接:
link
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