一、简单相关性分析

1、变量间的关系分析

变量之间的关系可分为两类：函数关系、相关关系。

（1）函数关系

存在完全确定的关系

（2）相关关系

不存在完全确定的关系

：虽然变量间有着十分密切的关系，但是不能由一个或多个变量值精确的求出另一个变量的值，称为

相关关系

，存在相关关系的变量称为

相关变量

。

相关变量的关系也可分为两种：平行关系、依存关系

i、平行关系

• 两个及以上变量间相互影响
• 
  相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系
  

ii、依存关系

• 一个变量变化受另一个变量的影响
• 
  回归分析是研究呈依存关系的相关变量之间的关系
  

iii、两者关系

回归分析和相关分析都是研究变量之间关系的统计学课题，两种分析方法相互结合和渗透

2、简单相关分析

• 
  相关分析
  
  ：通过对大量数字资料的观察，消除偶然因素的影响，探求现象之间的相关关系的密切程度和表现形式
• 
  主要研究内容
  
  ：现象之间是否相关、相关的方向、密切程度等，不区分自变量与因变量，也不关心各变量的构成形式
• 
  主要分析方法
  
  ：绘制相关图、计算相关系数、检验相关系数

（1）计算两变量之间的线性相关系数

• 所有相关分析中
  
  最简单的就是两个变量间的线性相关
  
  ，一变量数值发生变动，另一变量数值会随之发生大致均等的变动，各点的分布在平面图上大概表现为一直线；
• 
  线性相关分析
  
  ，就是用
  
  线性相关系数
  
  来衡量两变量的相关关系和密切程度
• 给定二元总体（X,Y）
  • 总体相关系数用ρ表示：
  • 
  • 
  • 
  • cov(X,Y)是x与y的协方差

i、协方差定义、柯西-施瓦尔兹不等式

a、协方差定义

设（X,Y）是二维随机变量，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在

则称cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，叫X与Y的协方差，也叫X与Y的相关（中心）矩

即X的偏差(X-E(X))与Y的偏差(Y-E(Y))乘积的期望

解读：

• 
  当cov(X,Y)>0
  
  ,X的偏差(X-E(X))与Y的偏差(Y-E(Y))，
  
  有同时增加或同时减少的倾向
  
  ，又由于E(X)和E(Y)都是常数，所以就能够等价于
  
  X与Y有同时增加或减少的倾向
  
  ，称
  
  X与Y正相关
  
• 
  当cov(X,Y)<0
  
  ,X的偏差(X-E(X))与Y的偏差(Y-E(Y))，
  
  有X增加Y减少的倾向，或Y增加X减少的倾向
  
  ，称
  
  X与Y负相关
  
• 
  当cov(X,Y)=0
  
  ,称
  
  X与Y不相关
  
  ，这时可能是
  
  X与Y取值毫无关联
  
  ，也可能是
  
  某种特殊的非线性关系
  

b、柯西-施瓦尔兹不等式

根据柯西-施瓦尔兹不等式



变形得ρx,y在区间[-1,1]

ρx,y是没有单位的，因为分子协方差的量纲除以了分母的与分子相同的量纲

• 两变量线性相关性越密切，|ρx,y|越接近于1
• 两变量线性相关性越低，|ρx,y|越接近于0
• |ρx,y|=0的情况跟上面cov(X,Y)=0情况一样，两变量取值毫无关联或有某种特殊的非线性关系

协方差与相关系数的关系，就像绝对数与相对数的关系

（绝对数相当于统计中常用的总量指标；相对数是两个有联系的指标的比值，从数量上反应两个相互联系的现象之间的对比关系。）

ii、Pearson相关系数（样本线性相关系数）

一般用样本线性相关系数来估计总体线性相关系数，

数据必须服从正态分布


设（X,Y）是二元总体，简单随机抽样(x1,y1),(x2,y2),……(xn,yn)


样本均值：







样本方差：







样本协方差：





样本相关系数：




lxx为x的离差平方和，lyy为y的离差平方和，lxy为x与y离差乘积之和（可正可负）


实际计算可按下面简化：








python代码（人的身高体重相关性关系）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x=np.array([171,175,159,155,152,158,154,164,168,166,159,164])
y = np.array([57,64,41,38,35,44,41,51,57,49,47,46])
np.corrcoef(x,y)
plt.scatter(x,y)
plt.show()

结果：

array([[1.        ,0.95930314],
       [0.95930314,1.        ]])

r>0，则体重和身高呈正相关性

注意：数据不服从正态分布时–spearman相关系数

皮尔森相关系数只能用于分析服从正态分布的连续变量的相关性，对于不服从正态分布的变量，可采用Sperman秩相关系数进行相关性分析。

Sperman秩相关系数，也称等级相关系数。如果数据中没有重复值， 并且当两个变量完全单调相关时，斯皮尔曼相关系数则为+1或−1。

计算逻辑：对两个变量的取值按照从小到大顺序编秩，如果两个值大小相等，则秩次为(index1+index2)/2,

不管Pearson还是spearman，都使用

pandas中的corr()函数

iii、ρ=0，相关系数的假设检验

a、引入假设检验的原因

• r与其他统计指标一样，也会有抽样误差。从同一总体内抽取若干大小相同的样本，各样本的样本相关系数总会有波动。即根据样本数据是否有足够的证据得出总体相关系数不为0的结论（判断得出的结论是否准确的，不是假的）
• 要判断不等于0的r值是来自总体相关系数ρ=0的总体，还是来自ρ不等于0的总体，
  
  必须进行显著性检验
  
• 因为样本间没有线性相关性，可能会杂乱无章，也可能呈现出一些非线性关系（更高阶的关系pearson相关系数不能表示出来）
• 所以r的显著性检验可以用
  
  双侧 t 检验
  
  来进行

iv、t-检验的解读

a、简历检验假设

b、构造 t 统计量，计算相关系数 r 的 t 值

此 t 近似服从t(n-2)分布，如果数据严格服从二元正态分布

Γ是gamma函数，F1(a,b;c;d)是高斯超几何函数

当总体相关系数ρ=0时（假定两个随机变量时正态相关的），

样本相关系数r的密度函数为：


B是beta函数，此密度函数碰巧就是统计量 t ，就是自由度为n-2的 t 分布；

c、计算 t 值和 P ，作结论

R语言中有cor.test()函数


相关系数的显著性是与自由度（n-2）有关，也就是与样本数量n有关。


样本量小，相关系数绝对值容易接近于1，样本量大，相关系数绝对值容易偏小；


所以，我们要拿到充分大的样本，就能把相关系数r作为总体相关系数ρ，这样就不必关心显著性检验的结果了。

3、深度探讨ρ=0

Pearson相关系数无法度量非线性关系的强度。

二、多变量相关性分析（一个因变量和多个自变量）

多变量基于双变量

1、偏相关或复相关

• 
  简单相关
  
  ：研究两变量之间的关系
• 
  偏相关或复相关
  
  ：研究三个或者三个以上变量的关系

2、意义与用途

有些时候，我们

只想了解两个变量之间是否有线性相关关系，并不想拟合建立它们的回归模型，也不需要区分自变量和因变量

，这时可用相关性分析。

3、分析方法

（1）样本相关系数矩阵、相关系数检验

设x1,x2…xn，来自正态总体Np(u，σ

²

)容量为n的样本，其中每个样本x有p各观测

分别计算两两样本之间的简单相关系数rij，它们构成的矩阵就是：



由于每个变量跟自己的相关系数就是1，即：



其中，（rij)pxp就是两个变量的简单相关系数



R语言中，使用cor(x) 得到相关系数矩阵，corr.test(x)进行相关系数检验（得到t检验矩阵），Probability values得到p值（置信度）矩阵

（2）复相关分析

• 实际分析中，一个变量(y)往往要受到多种变量（x1,x2,…x4）的综合影响，
• 
  所谓复相关，就是研究多个变量同时与某个变量的相关关系
  
• 
  度量复相关程度的指标是复相关系数
  
• 多个变量同时与某个变量的相关关系不能直接测算，只能
  
  通过间接测算
  

复相关系数的计算：

设因变量y，自变量x1,x2,…xp,构造一个线性模型为：

y=b0+b1x1+…+bpxp+ε

y帽=b0+b1x1+…+bpxp


对y与x1、x2…xp作相关分析，就是对y与y帽作简单相关分析

记：

• ry.x1…xp为y与x1,x2…xp的复相关系数
• ry.y帽为y与y帽的简单相关系数

ry.x1…xp的计算公式：



复相关系数常用于

多元线性回归分析

中，我们希望知道因变量与一组自变量之间的相关程度，即复相关，

复相关系数反映了一个变量与另一组变量的密切程度

。

假设检验:


与多元回归的方差分析一样

综上：

（3）决定系数R

²

(RMSE的介绍)

在复相关系数中，根号里面的比值


其实

说明了回归平方和与总离平方和的比值，反应了回归贡献的百分比


把

复相关系数两边平方一下就能得到决定系数





决定系数用于评价多元回归方程、变量选择、曲线回归方程拟合的好坏程度中。

注意：

• R
  
  ²
  
  是
  
  相关性的度量，并不是准确性的度量
  
• R
  
  ²
  
  
  依赖于y的波动程度（样本方差），这会使得我们看待模型的好坏有着巨大影响
  
  ，例如，假设测试集y的方差是4.2，如果一个模型的RMSE=1，R
  
  ²
  
  大致为76%，但是另一个测试集的方差是3，R
  
  ²
  
  则变为67%。这样模型的好坏就决定于测试集的波动程度，所以这个十分不靠谱
• 不明白上面的话，可以再看一个例子，如果我们建立了一个模型预测广州房价，如果测试集中广州房屋售价的波动范围较大——方差较大（40万-几千万），因为方差大，所以很可能导致 R
  
  ²
  
  也比较大（假设 80%），但 RMSE可能十万，这对于广州房价预测来说是一个很糟糕的预测范围。

什么是RMSE：


RMSE

是回归问题的性能指标，衡量的是预测值与真实值之间的差距，是测量预测误差的标准差





举例子：

RMSE 等于 50000，根据【3σ 准则】意味着：

大约 68% 的预测值位于真实值的 50000元（1σ）以内，

大约 95% 的预测值位于真实值的 100000元 （ 2σ）以内，

大约 99.7% 的预测值位于真实值的 150000元内 （ 3σ ）以内

4、小结

可以看出多变量相关分析跟回归分析的关系很密切，多变量相关分析能为回归分析服务，因为要具有相关性才有做线性回归拟合的价值