一、相切模型
模型函数
\(y=kx\)
与函数
\(y=lnx\)
相切于点
\(Q\)
，求点
\(Q\)
的坐标。
\((e，1)\)
分析：设函数
\(y=kx\)
与函数
\(y=lnx\)
切点为
\(Q(x_0,y_0)\)
，则有
\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)
；
从而解得
\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)
，故切点
\(Q\)
的坐标为
\((e，1)\)
二、直线和曲线相切
例1若方程
\(\sqrt{3-\cfrac{3}{4}x^2}-m=x\)
有实根，则实数
\(m\)
的取值范围是________.
【分析】将原本数的问题，转化为形的问题，即两个函数的图像有交点的问题，从形上来处理解决。
【解答】由题目可知，方程
\(\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}=x+m\)
有实根，
即函数
\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)
和函数
\(y=x+m\)
的图像有交点，
其中函数
\(y=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)
的图像是椭圆
\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{3}=1\)
的上半部分，
函数
\(y=x+m\)
的图像是动态的直线，
在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知，
由图可知，直线和椭圆相交的一个位置是过点
\((2，0)\)
，代入求得
\(m=-2\)
；
另一个相交的临界位置是直线和函数
\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)
在第二象限的部分相切，
设切点坐标
\((x_0，y_0)\)
，
则有
\(f'(x)=[(3-\frac{3}{4}x^2)^{\frac{1}{2}}]’=\frac{1}{2}\cdot (3-\frac{3}{4}x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3-\frac{3}{4}x^2)’\)
\(=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}\cdot (-\frac{3}{4}\cdot (2x))\)
\(= \frac{1}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}\cdot (-\frac{3x}{4})\)
则
\(f'(x_0)=\frac{-\frac{3x}{4}}{\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}}=1(x_0<0)\)
即
\(-\frac{3x}{4}=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)
，两边平方整理得到，
\(x_0^2=\frac{16}{7}\)
，即
\(x_0=-\frac{4}{\sqrt{7}}\)
，
代入函数
\(y=f(x)=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\)
，得到
\(y_0=\frac{3}{\sqrt{7}}\)
即切点为
\((-\frac{4}{\sqrt{7}}，\frac{3}{\sqrt{7}})\)
将切点代入直线，得到
\(m=\sqrt{7}\)
，
结合图像可知
\(m\)
的取值范围是
\([\sqrt{7}，2]\)
。
【点评】：①本题目的难点一是将数的问题转化为形的问题求解，其中转化得到半个椭圆也是难点。
②难点二是求直线和椭圆相切时