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问题描述：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式：

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式：

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围：

0<N,V≤100

0<vi,wi,si≤100

输入样例：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

朴素法：

• 算法：动态规划（DP）
• 使用 f[i][j]来表示从前 i 个物品中选取体积不超过 j 的所有选法的集合，其值代表集合中所有选法中的最大价值。
• 与完全背包问题与01背包问题不同的是，在多重背包问题中，题目会给出每种物品的个数上线，即 s[ i ]。故在枚举选择物品的个数时，需要添加判断条件。
• 状态计算：f[ i ][ j ] = f[i – 1][ j – k * v[ i ] ] + k * w[ i ]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N][N], s[N], v[N], w[N];

int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
        
    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

二进制优化：

• 思路概括：将同一组中的商品按不同数目打包分组，再做一个01背包问题
• 我们用一个
  
  例子
  
  来简要说明。假设有一组商品，共有128个，在一般情况下，我们需要枚举129次（0 ~ 128)。但是如果我们将商品进行打包，每个包中表示不同数量的商品，然后将其看作01背包问题去枚举（即每个包只能选择零次或一次），就会大大减少枚举次数。在本例中，我们可以按二进制打包为1、2、4、8、16、32、64。这样的情况下，我们可以将枚举次数从 n 减少到 logn 。
• 证明二进制优化的
  
  合理性
  
  ：在上例中，我们将一组商品按二进制优化打包后进行枚举。我们通过是否选择1，可以得到 0 ~ 1 的两种组合；通过是否选择1、2，我们可以得到 0 ~ 3 的四种组合；同理，我们可以通过是否选择1、2、4得到 0 ~ 7 的八种组合；… 以此类推，我们可以枚举出所有 0 ~ 128 所有数字。
• 我们将上述例子
  
  一般化
  
  ，当商品的个数不是2的次幂时，例如67，我们可以这样去打包：1、2、4、8、16、32、3。与上述证明同理，我们依旧可以通过这种方法枚举出所有 0 ~ 67 的数字
• 
  时间复杂度
  
  的计算：再没有优化前，时间复杂度是：N * V * S 优化后时间复杂度为 N * V * logS

二进制优化代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 25000;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];   //01背包可以优化为一维，这里直接写优化后的代码

int main(){
    cin >> n >> m;

    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++ ){
        int a, b, s;
        cin >> a >> b >> s;

        int k = 1;
        while(k <= s){
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if(s > 0){
            cnt ++ ;
            v[cnt] = s * a;
            w[cnt] = s * b;
        }
    }

    n = cnt;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
        for(int j = m; j >= 0; j -- ){
            if(v[i] > j)    f[j] = f[j];
            else    f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}