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每个矩形和三角形都和一个称为面积的数相关。矩形的面积定义为它的高和底之积，三角形的面积是高和底乘积的一半(图1)。因为多边形总可以分解成三角形(图2)，其面积就是这些三角形面积的总和。

图1






图2



圆是比较困难的图形。希腊人找到一种非常自然的方式解决它的问题。第一，他们用一个内接正方形来近似圆的面积(图3)。然后他们逐渐增加边的数目，由正八边形加倍边数就是正十六边形，等等。这些内接多边形的面积显然越来越接近圆的精确面积。这种想法得出大家熟悉的公式

$$\begin{equation} A=\pi r^2\tag1 \end{equation}$$
圆的面积








A










$A$
用半径









r











$r$
的形式来表示。推理的细节如下。假设圆内接一个正多边形(图4)。图中每个小的等腰三角形面积是











1






2













h


b










$\frac{1}{2}hb$
，这些面积的总和等于多边形面积，它非常接近圆的面积。如果








p










$p$
表示多边形的周长，那么我们将看到

$$\begin{align*} A_{{\rm polygon}} &=\frac{1}{2}hb+\frac{1}{2}hb+\cdots+\frac{1}{2}hb\\ &=\frac{1}{2}h(b+b+\cdots+b)=\frac{1}{2}hp \end{align*}$$
现在让








c










$c$
表示圆的周长，那么根据









π













$\pi$
的定义(








π












$\pi$
的定义是周长与直径的比，即








π




=


c




/




2


r










$\pi=c/2r$
)得








c


=


2


π




r










$c=2\pi r$
。随着多边形边的增加，








h










$h$
趋近于









r











$r$
(用符号表示就是








h


→


r










$h\to r$
)，








p


→


c










$p\to c$
，从而

$$A_{{\rm polygon}}=\frac{1}{2}hp\to \frac{1}{2}rc=\frac{1}{2}r(2\pi r)=\pi r^2$$
得到








(


1


)










$(1)$
。短语逼近法非常形象地描述了这个过程，因为圆的面积就是由内接多边形逼近出来的。

图3






图4



接下来我们通过阿基米德计算一段抛物线面积的例子检验这个过程，也就是，图5中由任意弦








A


B










$AB$
和弧








A


D


C




E




B










$ADCEB$
围成的部分抛物线面积。图中无法方便的找出常规内接多边形，因此阿基米德改用三角形。他第一个近似是三角形








A


B


C












$ABC$
，顶点








C












$C$
的切线与









A


B











$AB$
平行。他第二个近似是给三角形








A


B


C












$ABC$
增加两个三角形








A


C




D










$ACD$
和








B


C




E












$BCE$
，其中顶点








D










$D$
的切线平行于









A


C













$AC$
，顶点








E












$E$
的切线平行









B


C













$BC$
。为了得到他的第三个近似，它在其余四个区域仍未包含的区域(例如其中一个区域是弧








C




E












$CE$
和弦








C




E












$CE$
之间)以同样的方式内接三角形，所以他第三次近似是三角形








A


B


C




,


A


C




D


,


B


C




E












$ABC,ACD,BCE$
和四个新三角形的面积之和。通过这种方式继续逼近抛物线，他得出面积是第一个三角形








A


B


C












$ABC$
面积的三分之四。他的论点细节上有点复杂；而且我们这里的关注点是逼近法的想法，所以我们省略这些细节。





图5



摆在我们面前的普遍问题是找到曲线边界围成的面积。然而，我们的大部分工作集中于一种特殊情况，即找出函数








y




=


f




(


x


)










$y=f(x)$
下面与








x


=


a


,


x


=


b










$x=a,x=b$
所围成区域的面积，如图6 所示。此类区域只有上边界是曲线，因此更容易解决。知道了这种特殊情况后，我们一般就能够应付更复杂的区域。为了说明，注意图7，整个边界都是曲线围成的面积往往可以通过上面曲线下方的面积减去下面曲线下方的面积得到，后者的面积和图6是一个类型。

后面我们将会看到，图6所示的面积用符号便是就是

$$\begin{equation} \int ^b_af(x)dx\tag2 \end{equation}$$
这个符号之后会详细介绍，目前提醒大家不要将它和不定积分符号弄混了

$$\begin{equation} \int f(x)dx\tag3 \end{equation}$$
尽管他们看着非常相似，但是他们实际完全不同：定积分(2)是一个数，而不定积分(3) 是一个函数(或者函数集合)。

乍一看，它可能出现在计算几何面积的问题中然后就没有什么了，也许，除了数学家，在现实世界中它没有实际用途。实际并非如此。之后会详细给出它的应用，物理和工程问题中很多重要的概念和问题完全依赖于一些想法，他们和用于计算面积的想法相同。作为例子，考虑物理中功和能量的概念，以及工程上由于水的压力水坝所承受的合力问题。因此更多的情况是寻找面积，而不是一个数学家为了解闷纯粹在玩。然而，为了清楚起见，本文只限于我们讨论面积问题本身，后面我们会介绍该基本思想下各种各样的应用。

图6






图7




注解1

：作为一个历史趣题，第一个发现曲线围成区域确切面积的人是希波克拉底，公元前五世纪最著名的希腊数学家。为了了解他的做法，考虑图8所示的圆，点








A


,


B


,


C




,


D










$A,B,C,D$
是水平和垂直半径的两端。用








C












$C$
表示是圆心，









A


,


B











$A,B$
的连线用弧








A


E




B










$AEB$
表示。由弧








A


D


B










$ADB$
和








A


E




B










$AEB$
围成的月牙状叫做希波克拉底月亮(lune of Hippocrates，其中lune是拉丁语”月亮”的意思)，之后他得出了非凡的发现，它的面积完全等于阴影方形的面积，它的边长等于圆的半径。因此希波克拉底“将月牙形状变成了方形,”但是他不能将圆本身变成方形。





图8




注解2

：我们大部分在上学时就知道








π












$\pi$
的近似值是3.14，有些人能够记得更精确的近似值








π




≅




3.14159










$\pi\cong 3.14159$
。在阿基米德的论著中，他推导出了一个著名的不等式

$$3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}=\frac{22}{7}$$

虽然很粗略但却是非常有用的近似








π




≅







22






7





















$\pi\cong \frac{22}{7}$
。那么这些值是从哪里来的呢？

上面将








π












$\pi$
定义为圆的周长与直径的比值。正如我们看到的，由它得到公式








A


=


π







r






2















$A=\pi r^2$
，这告诉我们








π












$\pi$
也是单位圆











x






2







+





y








2







=


1










$x^2+y^2=1$
的面积。因此计算








π












$\pi$
的问题转变成计算单位圆面积的问题。

为了做到这一点，让











p






n







,





P








n















$p_n,P_n$
分别表示








n










$n$
边正多边形，












p






n
















$p_n$
是内接于单位圆，











P








n















$P_n$
外接于单位圆，如图9所示。为了求出多边形的面积，找出组成多边形











p






n







,





P








n















$p_n,P_n$
的等腰三角形的面积，然后乘以








n










$n$
即可。如果









θ











$\theta$
是顶角的一半，那么很明显所有等腰三角形的








θ










$\theta$
相等；利用角度度量，我们有

$$\theta=\frac{1}{2}\cdot\frac{360^\circ}{n}=\frac{180^\circ}{n}$$

观察图像我们可以看出











p






n















$p_n$
的面积是

$$\begin{equation} A(p_n)=n\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\sin \theta\cos \theta=\frac{n}{2}\sin2\theta=\frac{n}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}\tag4 \end{equation}$$












P








n















$P_n$
的面积是

$$\begin{equation} A(P_n)=n\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\tan \theta=n\tan\frac{180^\circ}{n}\tag5 \end{equation}$$

将不同的








n










$n$
值代入公式(4)(5)并利用计算器，可以很快计算出相应的面积值(表1)。因为对于所有的









n











$n$

$$A(p_n)\leq\pi\leq A(P_n)$$

所以精确到五位小数得








π




≅




3.14159










$\pi\cong 3.14159$
。之后我们还会看到其他计算








π












$\pi$
的方法，有些甚至可以精确到500000位小数。

图9







表1