最小生成树-Prim算法和Kruskal算法
分别适用于不同类型的图结构：prime算法适合于边多而定点少的，库鲁萨卡尔算法适合于边少定点多的情况。
Prim算法
1.概览
普里姆算法
（
Prim
算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有
顶点
，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家
沃伊捷赫·亚尔尼克
发现；并在1957年由美国计算机科学家
罗伯特·普里姆
独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：V
new
= {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E
new
= {},为空；
3).重复下列操作，直到V
new
= V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V
new
中的元素，而v不在V
new
集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合V
new
中，将<u, v>边加入集合E
new
中；
4).输出：使用集合V
new
和E
new
来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 |
已选（V new ） |
|---|---|---|---|---|
|
|
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 |
– |
– |
– |
|
|
顶点 D 被任意选为起始点。顶点 A 、 B 、 E 和 F 通过单条边与 D 相连。 A 是距离 D 最近的顶点，因此将 A 及对应边 AD 以高亮表示。 |
C, G |
A, B, E, F |
D |
|
|
下一个顶点为距离 D 或 A 最近的顶点。 B 距 D 为9，距 A 为7， E 为15， F 为6。因此， F 距 D 或 A 最近，因此将顶点 F 与相应边 DF 以高亮表示。 |
C, G |
B, E, F |
A, D |
|
算法继续重复上面的步骤。距离 A 为7的顶点 B 被高亮表示。 |
C |
B, E, G |
A, D, F |
|
|
在当前情况下，可以在 C 、 E 与 G 间进行选择。 C 距 B 为8， E 距 B 为7， G 距 F 为11。 E 最近，因此将顶点 E 与相应边 BE 高亮表示。 |
无 |
C, E, G |
A, D, F, B |
|
|
这里，可供选择的顶点只有 C 和 G 。 C 距 E 为5， G 距 E 为9，故选取 C ，并与边 EC 一同高亮表示。 |
无 |
C, G |
A, D, F, B, E |
|
|
顶点 G 是唯一剩下的顶点，它距 F 为11，距 E 为9， E 最近，故高亮表示 G 及相应边 EG 。 |
无 |
G |
A, D, F, B, E, C |
|
|
现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 |
无 |
无 |
A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G
0
2).假设存在G
min
使得cost(G
min
)<cost(G
0
) 则在G
min
中存在<u,v>不属于G
0
3).将<u,v>加入G
0
中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G
min
)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
prime算法的时间复杂度是O（|V|的平方）
4.算法代码实现(未检验)
#define MAX 100000 #define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10 int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/}; int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边 int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点 void prim(int start) { int sumweight=0; int i,j,k=0; for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1开始 { lowcost[i]=edge[start][i]; addvnew[i]=-1; //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外 } addvnew[start]=0; //将起始点start加入Vnew adjecent[start]=start; for(i=1;i<VNUM-1;i++) { int min=MAX; int v=-1; for(j=1;j<VNUM;j++) { if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径 { min=lowcost[j]; v=j; } } if(v!=-1) { printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]); addvnew[v]=0; //将v加Vnew中 sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和 for(j=1;j<VNUM;j++) { if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j]) { lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost adjecent[j]=v; } } } } printf("the minmum weight is %d",sumweight); }
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v
2
) 邻接表:O(elog
2
v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法
是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graph
new
，Graph
new
中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graph
new
中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graph
new
中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v’，把原来接在u和v的边都接到v’上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到。
我们证明T’+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T’+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即
W(T)<W(T’+{<u,v>})
。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G’的生成树。所以
W(T-{<u,v>})<=W(T’)
，也就是
W(T)<=W(T’)+W(<u,v>)=W(T’+{<u,v>})，
产生了矛盾。于是假设不成立，T’+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
4.代码算法实现
typedef struct { char vertex[VertexNum]; //顶点表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 }MGraph; typedef struct node { int u; //边的起始顶点 int v; //边的终止顶点 int w; //边的权值 }Edge; void kruskal(MGraph G) { int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通 int E[EdgeNum]; //存放所有的边 k=0; //E数组的下标从0开始 for (i=0;i<G.n;i++) { for (j=0;j<G.n;j++) { if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) { E[k].u=i; E[k].v=j; E[k].w=G.edges[i][j]; k++; } } } heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列 for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组 { vset[i]=i; } k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数 j=0; //E中的下标 while (k<G.n) { sn1=vset[E[j].u]; sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号 if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树 { printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w); k++; for (i=0;i<G.n;i++) { if (vset[i]==sn2) { vset[i]=sn1; } } } j++; } }
时间复杂度：elog
2
e e为图中的边数