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使用内插函数恢复模拟信号

时域信号的离散会导致频域的周期延拓，只有满足不低于信号最高频率两倍的采样率采样，才不会导致频域周期延拓后的混叠，才有可能不失真地恢复源信号。

在频域上看，恢复信号就是用一个理想低通滤波器与时域信号的频谱相乘，以得到频域的第一个周期，而频域的理想低通滤波器，也就是频域矩形窗，经过傅里叶逆变化后在时域是无限长的内插函数，是非因果的


非因果系统

：系统的当前输出只与当前或者之前的输入有关，而与之后的输入无关

一个时域时域无限长的响应，系统在t = 0输入，但系统在t<0时就开始有响应了，所以这个系统是非因果的，是物理不可实现的。

用matlab仿真采样信号的恢复,连续模拟信号可看做采样率无穷大的离散数字信号，因此，离散信号的恢复可看做一个插值的过程

前面提到恢复信号可以在频域低通滤波，频域相乘对应着时域卷积，因此过采样可以在时域用内插函数与源信号卷积实现,卷积公式如下

其中t的时间间隔就是过采样后的采样间隔，用matlab仿真如下

clear all;
close all;
N = 15;     %采样数量
f = 1;       %信号频率1Hz
Fs = 10;     %采样频率 10Hz
Ts = 0.1;   %采样间隔 

T = N*Ts;    %采样时长
n = 0:N-1;    %时域采样序列(N个采样)
NP = floor( (1/f)/(Ts) );    %1个周期采样点数
                             %为了清楚显示波形,只画1个周期                     
nTs = n*Ts;         %时域采样时间序列
ts = 0:Ts:Ts*N;
x = sin(2*pi*f*ts);  %时域采样,
subplot(311);
stem(ts,x);
title(['采样信号,Ts=' num2str(Ts)]);
%下面是为了更好地显示出待采样信号的波形
Ts1 = 0.001;                    
NP1 = floor( (1/f)/(Ts1) );
t1 = [0:T/Ts1-1]*Ts1;   
f1 = sin(2*pi*t1);
hold on;
plot(t1,f1,'r-');
hold off;
%下面开始用内插法重建信号
%采样信号: x(n)=f
%采样间隔: T=Ts
%原理(内插法): y(t)=Σx(n)sinc((t-nTs)/Ts)
t1 = 0;     %开始时间
t2 = 1/f;   %结束时间(取信号的1个周期)


interpfac = 10;
fs_sinc = interpfac*Fs;%内插函数的采样率，即源信号过采样的采样率，默认10倍过采样

Dt = Ts/interpfac;
t=t1:Dt:t2;

delay = Dt*0;
ta=t1:Dt:Ts*N;
fa = zeros(length(ta),1);
% figure,
for t = 0:length(ta)-1              %求过采样后的每个值
    for m = 0:length(nTs)-1         %累加sinc与原函数对应点的积
        fa(t+1) = fa(t+1) + x(m+1)*sinc((t*Dt - delay - m*Ts)/Ts) ;
%         stem(ta,sinc((ta - delay - m*Ts)/Ts)),
%         hold on,stem(ts,x,'r'),
%         hold on,plot(ta,fa,'x'),
%         hold off
    end
end
%fa = f * sinc( Fs*(ones(length(nTs),1)*t - nTs'*ones(1,length(t))) );
subplot(312);
% plot(t,fa);
stem(ta,fa)
title('重建信号(内插法)');
%figure,stem(ta,sinc((ta - delay - n*Ts)/Ts)),hold on,stem(ta*4,f(1:41),'r')


%得到小数时延信号
Delayed_f = fa(mod(1:length(fa),interpfac)==1);%按源信号的采样间隔取值
% Delayed_f = [fa(1),Delayed_f']';
subplot(313),stem(ts,Delayed_f);


% fa = f * sinc( Fs*(ones(length(nTs),1)*t - nTs'*ones(1,length(t))) );
% subplot(212);
% % plot(t,fa);
% stem(t,fa)
% title('重建信号(内插法)');

卷积计算如代码中的循环部分，循环中注释部分可以看到移位计算的过程，另外，插值计算可以引出分数时延滤波器，代码改变delay的值可以实现简单的分数时延