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5. 矩阵的LU分解、QR分解

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这一部分主要回顾一下矩阵里面的两种重要分解，LU分解和QR分解。LU分解的主要用途包括求解矩阵的逆，求解线性方程组等。与QR分解最相关的就是最小二乘法了。还用于数值分析中，例如计算矩阵特征值。

1 LU分解

• 
  
  
  
  
  
  
  
  A
  
  
  =
  
  
  L
  
  
  U
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $A = LU$
  ，将矩阵A分解成为一个单位下三角矩阵L和一个单位上三角矩阵U的乘积。
• 
  
  
  
  
  
  
  
  L
  
  
  U
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $LU$
  分解定理：如果n阶方阵A的各阶顺序主子式
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Δ
  
  
  
  
  
  
  k
  
  
  
  
  
  
  
  ≠
  
  
  0
  
  
  ,
  
  
  
  
  
  
  k
  
  
  =
  
  
  1
  
  
  ,
  
  
  2
  
  
  ,
  
  
  .
  
  
  .
  
  
  ,
  
  
  n
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\Delta_k\not= 0,\ \ k = 1,2,..,n$
  ，则存在唯一的单位下三角矩阵L和唯一的非奇异下三角矩阵U使得
  
  
  
  
  
  
  
  
  A
  
  
  =
  
  
  L
  
  
  U
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $A = LU$
  。
• 如何计算矩阵的LU分解？
  
  可以知道，存在矩阵L的逆矩阵L’使得LL’=I，因此L’A=L’LU=U。因此通过对矩阵A做初等行变换L’可以得到矩阵U，再对矩阵L’求逆得到矩阵L。
• 计算公式：
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  [
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  a
  
  
  
  
  
  
  
  
  11
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋯
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  a
  
  
  
  
  
  
  
  
  1
  
  
  n
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋮
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋱
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋮
  
  
  
  
  
  
  
  a
  
  
  
  
  
  
  
  
  n
  
  
  1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋯
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  a
  
  
  
  
  
  
  
  
  n
  
  
  n
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ]
  
  
  
  
  
  
  
  
  =
  
  
  
  
  
  ⎡
  
  
  
  
  ⎣
  
  
  
  
  ⎢
  
  
  
  
  ⎢
  
  
  
  
  ⎢
  
  
  
  
  ⎢
  
  
  
  
  ⎢
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  l
  
  
  
  
  
  
  
  
  21
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋮
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  l
  
  
  
  
  
  
  
  
  n
  
  
  1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋮
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋯
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⋱
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  l
  
  
  
  
  
  
  
  
  n
  
  
  ,
  
  
  n
  
  
  −
  
  
  1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ⎤
  
  
  
  
  ⎦
  
  
  
  
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