向量的内积和解析几何下的向量在坐标系中的向量的数量积一样。
一、正交
就是两个向量积[x,y]=0时称x,y正交。可见零向量和任何向量都正交。
二、正交向量组
就是一组
两两正交
的
非零向量
=>定理：若n维向量 a1,…,an 是一组两两正交的非零向量，则a1,…an线性无关。
笔：假设λ1 a1+……+λn an=0,若证明a1,……,an线性无关，则证λ1=…=λn=0。在式子两边同乘ai可以知道λi=0,i依次取0,…,n则可证。
三、标准正交基
两两正交、单位向量、基
将基变成标准正交基：标准正交化。
首先就是：将基两两向量正交化，过程很容易理解，就是一个向量和任何一个除其自身之外的向量之积都为0.
然后就是单位化
四、正交矩阵
一个n阶矩阵A，满足其转置矩阵等于其逆矩阵。即AT A=E
展开可知：
=>定理：方针A为正交矩阵的充要条件：A的列向量都是单位向量，而且两两正交
五、正交变换
若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换
六、方阵的特征值和特征向量
A是n阶矩阵，x是
非零向量
Ax=λx成立，那么λ称为A的特征值，x则称A对应于特征值λ的特征向量
特征值就是特征方程的解
性质：
λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann
λ1λ2…λn=|A|
=>定理：不同特征值对应的特征向量之间是线性无关的
=>推论：一个特征值可能对应多个线性无关的向量组成特征向量，同样和其他特征值对应的特征向量线性无关。
七、相似矩阵
设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P-1 A P=B
则称B就是A的相似矩阵
=>定理：若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同
=>推论：若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则对角线上的元素都是A的特征值
若A=P^(-1)BP,则A^k=P^(-1)B^kP。如果B是对角矩阵，那么B^k=对角线上值^k的矩阵,φ(B)也是一个对角矩阵。这样就会有φ(A)=P-1 φ(B) P
现在想如何找一个相似变换矩阵P是A和一个对角矩阵为相似矩阵呢？
A经过相似变换成为一个对角阵，那么称为对角化。
笔：讨论先假设成立，然后进行展开，P-1 A P=B ==> AP=PB,进行展开pi和λi是A的特征向量和特征值。所以P是A的特征向量组成的，相似变换后的对角矩阵是特征值组成的。
这是正向推的，如果反向推，从AP=PB推，求得n个相应的特征向量，现在要看P是否可逆，如果可逆就有相应的对角化。
=>定理：n阶矩阵A与对角矩阵B相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
笔：n个线性无关的特征向量，保证了n个特征向量组成矩阵P对应的|P|不等于0，也就可逆。
=>推论：如果n阶矩阵A的个特征值互不相等，那么A与对称矩阵相似。
笔：特征值互不相等，那么相应的特征向量线性无关，相似变换矩阵P就可逆。如果联想到前面的知识，如果矩阵可逆，那么乘左边相当于作行变换，右边就是列变换，P-1AP相当于对A进行等价变换，最终成为对角阵。
八、对称矩阵的对角化
性质1：对称矩阵的特征值为实数
性质2：λ1和λ2是对称矩阵A的两个特征值，如果二者不同，那么对应的特征向量正交。
=>定理：设A为n阶对称矩阵，那么必有正交矩阵P使得A对角化。
=>推论：设A为n阶对称矩阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵A-λE的秩和B-λE
=n-k，其中B是对角阵，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。
笔：n阶对称矩阵能对角化，设B为对角矩阵，那么A-λE和B-λE是相似的，可以按定义展开得知。由于B-λE是对角阵，又因为λ有k重根，那么势必B-λE 有k行为零行，n-k行非零行，所以R(B-λE)=n-k，由于相似变换,所以R(A-λE)=R(B-λE)=n-k。所以A-λE中有n-k个非零行，所以相当于，有k个零行，k个自由变量，那么没一个变量都能单独取0，这样得到的向量之间是线性无关的。所以k重特征值λ对应的是k个线性无关的特征向量。线性无关向量可以进行正交化。
区别：这里限制了是对称矩阵，前面讲到如果n个不同的特征值一定可以对角化，这里讲到有重根的矩阵如果重根的特征值对应的k重特征向量线性无关则也可以对角化，对称矩阵就是符合这种情形。
九、二次型及其标准型
1.就是二次函数的变换，下面将会发现对称矩阵的用途。
先是由一般的二次函数写出f=xT A x，A是对称矩阵，对应着二次函数中相应的系数。
假若变换f为标准形式，那么设x=Cy会得到标准形式，C是可逆线性变换矩阵
那么f=yT cT A c y,令B=cT A c,即f=yT B y是标准形式。易知B也是一个对称矩阵。
2.由上面引出下面的定义：设A和B是n阶矩阵，如果有
可逆矩阵C
，使得B=cT A c，那么称A和B合同。且R(A)=R(B),(
因为C可逆，所以B等价于A，即A经过等价变换变成B，二者的秩由矩阵秩的性质知相同
)
上面对称矩阵知道肯定存在一个正交矩阵能使对称矩阵对角化，C-1 A C=B,（B为对称矩阵），因为C是正交矩阵所以也有 cT A c=B，所以A，B合同。
=>定理：所以上面又可以叙述成 对于任意二次型，总存在正交矩阵P，有正交变换x=Py使得f化为标准二次型。而且标准二次型的矩阵是对角阵，对角线上是相应的系数。这个是由于对称矩阵经过正交变换可以变成对角阵，又是标准二次型的矩阵。
=>推论：任给一个二次型f=xT A x,总有一个可逆变换x=Cz使得f变为规范型。规范型就是在标准型的基础上将系数变为1.假设先变为规范型x=Py，再y=Qz变成标准型，x=PQz=Cz。
注：注意相似线性变换和合同二者形式相同但是一个是逆一个是转置。
十、用配方法化二次型为标准型
正常我们变换，前后的变量个数应该一样，但是有些时候我们配方发现项数少了，这时我们需要进行补充，可以看成系数是0，至于补什么需要看下补后的矩阵是否可逆。比如书上常见的那个y3=x3. 因为上面x=Py中P是可逆的！
十一、正定二次型
=>定理：设二次型f=xT A x的秩为r，且有两个可逆变换x=Cy,x=Pz得到两个标准型，两个标准型中正系数的个数是一样的。 又称惯性定理
正惯定系数：正系数的个数
正定二次型：对于f=xT A x 使得任何x!=0 ,有f(x)>0,则称之为正定二次型，并且称对称矩阵A是正定的。负定二次型同理。
=>定理:n元二次型f=xT A x为正定的充要条件是：它的标准形的n个系数全为正，即正惯定系数为n
定理：对称矩阵A正定的充要条件是：其顺序子式都为正
推论：对称矩阵A正定的充要条件是：A的各个特征值全为正
定理：对称矩阵A负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。
上面定理书上大部分都没给出证明，非数学专业的要求有所降低吧。