E
(
N
t
)
=
E
(
(
λ
t
)
k
k
!
e
−
λ
t
)
=
λ
t
（
因
为
泊
松
过
程
的
期
望
均
值
都
为
λ
）
E(N_t)=E(\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t})=\lambda t（因为泊松过程的期望均值都为\lambda）
E
(
N
t
)
=
E
(
k
!
(
λ
t
)
k
e
−
λ
t
)
=
λ
t
（
因
为
泊
松
过
程
的
期
望
均
值
都
为
λ
）
复合泊松过程de定义级性质
Y
t
=
∑
n
=
1
N
t
ξ
n
,
N
t
为
泊
松
过
程
，
ξ
n
独
立
同
分
布
，
则
对
于
任
意
t
≥
0
Y_t=\sum_{n=1}^{N_t} \xi_n ,N_t为泊松过程，\xi_n独立同分布，则对于任意t\geq 0
Y
t
=
n
=
1
∑
N
t
ξ
n
,
N
t
为
泊
松
过
程
，
ξ
n
独
立
同
分
布
，
则
对
于
任
意
t
≥
0
-
{Y
t
是
独
立
增
量
过
程
}
\{Y_t是独立增量过程\}
{
Y
t
是
独
立
增
量
过
程
}
-
E{
Y
t
}
=
λ
t
E
(
ξ
)
E\{Y_t\}=\lambda tE(\xi)
E
{
Y
t
}
=
λ
t
E
(
ξ
)
,
V{
Y
t
}
=
λ
t
E
(
ξ
2
)
V\{Y_t\}=\lambda tE(\xi^2)
V
{
Y
t
}
=
λ
t
E
(
ξ
2
)
-
均值
：
E
(
Y
t
)
=
E
(
E
(
Y
t
∣
N
t
)
)
,
其
中
E
(
Y
t
∣
N
t
=
n
)
=
n
E
(
ξ
)
⇒
E
(
Y
t
∣
N
t
)
=
N
t
E
(
ξ
)
E
{
N
t
E
(
ξ
)
}
=
E
(
ξ
)
E
{
N
t
}
=
E
(
ξ
)
∗
λ
t
方
差
：
V
(
Y
t
)
=
E
(
V
(
Y
t
∣
N
t
)
)
+
V
(
E
(
Y
t
∣
N
t
)
)
V
(
Y
t
∣
N
t
=
n
)
=
V
(
∑
n
=
1
N
ξ
n
)
=
N
∗
V
(
ξ
)
V
(
Y
t
)
=
E
(
V
(
Y
t
∣
N
t
)
)
+
V
(
E
(
Y
t
∣
N
t
)
)
=
E
(
N
t
∗
V
(
ξ
)
)
+
V
(
N
t
E
(
ξ
)
)
=
V
(
ξ
)
∗
E
(
N
t
)
+
E
2
(
ξ
)
∗
V
(
N
t
)
=
[
V
(
ξ
)
+
E
2
(
ξ
)
]
∗
λ
t
=
E
(
ξ
2
)
∗
λ
t
{\color{red}均值}：E(Y_t)=E(E(Y_t|N_t)), \\ 其中E(Y_t|N_t=n)=nE(\xi) \\ \Rightarrow E(Y_t|N_t)=N_tE(\xi)\\ E\{N_tE(\xi) \}=E(\xi)E\{N_t \}=E(\xi)*\lambda t \\ {\color{red}方差}：V(Y_t)=E(V(Y_t|N_t))+V(E(Y_t|N_t))\\ V(Y_t|N_t=n)=V(\sum_{n=1}^{N} \xi_n)=N*V( \xi) \\ V(Y_t)=E(V(Y_t|N_t))+V(E(Y_t|N_t))\\ =E(N_t*V( \xi))+V(N_tE(\xi))\\ =V( \xi)*E(N_t)+E\color{red}^2\color{black}(\xi)*V(N_t)\\ =[V( \xi)+E\color{red}^2\color{black}(\xi)]*\lambda t\\ =E(\xi^2)*\lambda t\\
均
值
：
E
(
Y
t
)
=
E
(
E
(
Y
t
∣
N
t
)
)
,
其
中
E
(
Y
t
∣
N
t
=
n
)
=
n
E
(
ξ
)
⇒
E
(
Y
t
∣
N
t
)
=
N
t
E
(
ξ
)
E
{
N
t
E
(
ξ
)
}
=
E
(
ξ
)
E
{
N
t
}
=
E
(
ξ
)
∗
λ
t
方
差
：
V
(
Y
t
)
=
E
(
V
(
Y
t
∣
N
t
)
)
+
V
(
E
(
Y
t
∣
N
t
)
)
V
(
Y
t
∣
N
t
=
n
)
=
V
(
n
=
1
∑
N
ξ
n
)
=
N
∗
V
(
ξ
)
V
(
Y
t
)
=
E
(
V
(
Y
t
∣
N
t
)
)
+
V
(
E
(
Y
t
∣
N
t
)
)
=
E
(
N
t
∗
V
(
ξ
)
)
+
V
(
N
t
E
(
ξ
)
)
=
V
(
ξ
)
∗
E
(
N
t
)
+
E
2
(
ξ
)
∗
V
(
N
t
)
=
[
V
(
ξ
)
+
E
2
(
ξ
)
]
∗
λ
t
=
E
(
ξ
2
)
∗
λ
t
-
{Y
t
}
的
特
征
函
数
\{Y_t\}的特征函数
{
Y
t
}
的
特
征
函
数
-
φY
(
u
)
=
E
(
e
i
u
Y
)
=
∑
n
=
0
+
∞
E
[
e
i
u
Y
t
∣
N
t
=
n
]
P
(
N
t
=
n
)
=
∑
n
=
0
+
∞
E
[
e
i
u
∑
n
=
1
n
ξ
n
]
P
(
N
t
=
n
)
=
∑
n
=
0
+
∞
[
E
[
e
i
u
ξ
n
]
]
n
P
(
N
t
=
n
)
=
∑
n
=
0
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
P
(
N
t
=
n
)
=
∑
n
=
0
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
(
λ
t
)
n
n
!
e
−
λ
t
=
e
−
λ
t
∑
n
=
0
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
(
λ
t
)
n
n
!
=
e
−
λ
t
∑
n
=
0
+
∞
(
λ
t
∗
φ
ξ
(
u
)
)
n
n
!
=
e
−
λ
t
e
(
λ
t
∗
φ
ξ
(
u
)
)
φ_Y(u)=E(e^{iuY})=\sum_{n=0}^{+\infty}E[e^{iuY_t}|N_t=n]P(N_t=n)\\ =\sum_{n=0}^{+\infty}E[e^{iu\sum_{n=1}^{n} \xi_n}]P(N_t=n)\\ =\sum_{n=0}^{+\infty}[E[e^{iu \xi_n}]]^{n}P(N_t=n)\\ =\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}P(N_t=n) \\ =\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}\\ =e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}\\ =e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\lambda t*φ_\xi(u))^n}{n!}\\ =e^{-\lambda t}e^{(\lambda t*φ_\xi(u))}
φ
Y
(
u
)
=
E
(
e
i
u
Y
)
=
n
=
0
∑
+
∞
E
[
e
i
u
Y
t
∣
N
t
=
n
]
P
(
N
t
=
n
)
=
n
=
0
∑
+
∞
E
[
e
i
u
∑
n
=
1
n
ξ
n
]
P
(
N
t
=
n
)
=
n
=
0
∑
+
∞
[
E
[
e
i
u
ξ
n
]
]
n
P
(
N
t
=
n
)
=
n
=
0
∑
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
P
(
N
t
=
n
)
=
n
=
0
∑
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
n
!
(
λ
t
)
n
e
−
λ
t
=
e
−
λ
t
n
=
0
∑
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
n
!
(
λ
t
)
n
=
e
−
λ
t
n
=
0
∑
+
∞
n
!
(
λ
t
∗
φ
ξ
(
u
)
)
n
=
e
−
λ
t
e
(
λ
t
∗
φ
ξ
(
u
)
)
或先
求
E
[
e
i
u
Y
t
∣
N
t
=
n
]
=
E
[
e
i
u
∑
n
=
1
n
ξ
n
∣
N
t
=
n
]
=
[
E
[
e
i
u
ξ
n
]
]
n
=
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
，
所
以
E
[
e
i
u
Y
t
∣
N
t
]
=
[
φ
ξ
(
u
)
]
N
t
原
式
=
E
(
[
φ
ξ
(
u
)
]
N
t
)
=
∑
n
=
0
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
(
λ
t
)
n
n
!
e
−
λ
t
=
e
−
λ
t
∑
n
=
0
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
(
λ
t
)
n
n
!
=
e
−
λ
t
∑
n
=
0
+
∞
(
λ
t
∗
φ
ξ
(
u
)
)
n
n
!
=
e
−
λ
t
e
(
λ
t
∗
φ
ξ
(
u
)
)
或先求E[e^{iuY_t}|N_t=n]\\ =E[e^{iu\sum_{n=1}^{n} \xi_n}|N_t=n]\\ =[E[e^{iu \xi_n}]]^{n}\\ =[φ_\xi(u)]^{n}，所以 E[e^{iuY_t}|N_t]=[φ_\xi(u)]^{N_t}\\ 原式 =E([φ_\xi(u)]^{N_t})=\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}\\ =e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{+\infty}[φ_\xi(u)]^{n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}\\ =e^{-\lambda t}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\lambda t*φ_\xi(u))^n}{n!}\\ =e^{-\lambda t}e^{(\lambda t*φ_\xi(u))}
或
先
求
E
[
e
i
u
Y
t
∣
N
t
=
n
]
=
E
[
e
i
u
∑
n
=
1
n
ξ
n
∣
N
t
=
n
]
=
[
E
[
e
i
u
ξ
n
]
]
n
=
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
，
所
以
E
[
e
i
u
Y
t
∣
N
t
]
=
[
φ
ξ
(
u
)
]
N
t
原
式
=
E
(
[
φ
ξ
(
u
)
]
N
t
)
=
n
=
0
∑
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
n
!
(
λ
t
)
n
e
−
λ
t
=
e
−
λ
t
n
=
0
∑
+
∞
[
φ
ξ
(
u
)
]
n
n
!
(
λ
t
)
n
=
e
−
λ
t
n
=
0
∑
+
∞
n
!
(
λ
t
∗
φ
ξ
(
u
)
)
n
=
e
−
λ
t
e
(
λ
t
∗
φ
ξ
(
u
)
)
其他相关习题或证明：
订阅报纸
某
书
亭
订
阅
报
纸
的
强
度
为
λ
=
6
,
某
位
顾
客
订
阅
2
年
，
3
年
，
6
年
的
概
率
为
1
2
,
1
3
,
1
6
,
求
[
0
,
t
]
订
阅
的
总
年
数
Y
t
=
∑
n
=
i
N
t
ξ
n
的
均
值
和
方
差
由
复
合
泊
松
过
程
性
质
得
到
E
(
Y
t
)
=
λ
t
E
(
ξ
n
)
=
18
t
,
V
(
Y
t
)
=
λ
t
E
(
ξ
2
)
=
6
t
∗
(
2
∗
2
∗
1
2
+
3
∗
3
∗
1
3
+
6
∗
6
∗
1
6
)
某书亭订阅报纸的强度为\lambda=6,某位顾客订阅2年，3年，6年的概率为\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6},求[0,t]订阅的总年数Y_t=\sum_{n=i}^{N_t} \xi_n的均值和方差\\ 由复合泊松过程性质得到E(Y_t)=\lambda tE(\xi_n)=18t,V(Y_t)=\lambda tE(\xi^2)=6t*(2*2*\frac{1}{2}+3*3*\frac{1}{3}+6*6*\frac{1}{6})
某
书
亭
订
阅
报
纸
的
强
度
为
λ
=
6
,
某
位
顾
客
订
阅
2
年
，
3
年
，
6
年
的
概
率
为
2
1
,
3
1
,
6
1
,
求
[
0
,
t
]
订
阅
的
总
年
数
Y
t
=
∑
n
=
i
N
t
ξ
n
的
均
值
和
方
差
由
复
合
泊
松
过
程
性
质
得
到
E
(
Y
t
)
=
λ
t
E
(
ξ
n
)
=
1
8
t
,
V
(
Y
t
)
=
λ
t
E
(
ξ
2
)
=
6
t
∗
(
2
∗
2
∗
2
1
+
3
∗
3
∗
3
1
+
6
∗
6
∗
6
1
)
等火车时间
火
车
在
t
时
刻
启
程
，
求
总
等
待
时
间
的
均
值
E
(
∑
i
=
1
N
t
(
t
−
S
i
)
)
火车在t时刻启程，求总等待时间的均值E(\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i))
火
车
在
t
时
刻
启
程
，
求
总
等
待
时
间
的
均
值
E
(
∑
i
=
1
N
t
(
t
−
S
i
)
)
E
(
∑
i
=
1
N
t
(
t
−
S
i
)
)
=
E
(
E
[
∑
i
=
1
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
]
)
1.
先
求
E
[
∑
i
=
1
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
=
n
]
E
[
∑
i
=
1
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
=
n
]
=
E
[
∑
i
=
1
N
t
t
∣
N
t
=
n
]
−
E
[
∑
i
=
1
N
t
S
i
∣
N
t
=
n
]
=
n
t
−
E
[
∑
i
=
1
N
t
S
i
∣
N
t
=
n
]
其
中
E
[
∑
i
=
1
N
t
S
i
∣
N
t
=
n
]
由
泊
松
到
达
时
间
的
条
件
性
质
=
E
[
∑
i
=
1
n
U
i
]
=
n
t
2
所
以
E
[
∑
i
=
1
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
=
n
]
=
n
t
2
，
E
[
∑
i
=
1
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
]
=
N
t
t
2
2.
E
(
N
t
t
2
)
=
E
(
N
t
)
t
2
=
t
2
∑
n
=
0
+
∞
n
(
λ
t
)
n
n
!
e
−
λ
t
=
λ
t
2
2
E(\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i))=E(E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t])\\ 1.先求E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t=n]\\ E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t=n]=E[\sum_{i=1}^{N_t}t|N_t=n]-E[\sum_{i=1}^{N_t}S_i|N_t=n]\\ =nt-E[\sum_{i=1}^{N_t}S_i|N_t=n]\\ 其中E[\sum_{i=1}^{N_t}S_i|N_t=n]由泊松到达时间的条件性质=E[\sum_{i=1}^{n}U_i]=\frac{nt}{2}\\ 所以E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t=n]=\frac{nt}{2}，E[\sum_{i=1}^{N_t}(t-S_i)|N_t]=\frac{N_tt}{2}\\ 2.E(\frac{N_tt}{2})=E(N_t)\frac{t}{2}=\frac{t}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}n\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}\\=\frac{\lambda t^2}{2}
E
(
i
=
1
∑
N
t
(
t
−
S
i
)
)
=
E
(
E
[
i
=
1
∑
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
]
)
1
.
先
求
E
[
i
=
1
∑
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
=
n
]
E
[
i
=
1
∑
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
=
n
]
=
E
[
i
=
1
∑
N
t
t
∣
N
t
=
n
]
−
E
[
i
=
1
∑
N
t
S
i
∣
N
t
=
n
]
=
n
t
−
E
[
i
=
1
∑
N
t
S
i
∣
N
t
=
n
]
其
中
E
[
i
=
1
∑
N
t
S
i
∣
N
t
=
n
]
由
泊
松
到
达
时
间
的
条
件
性
质
=
E
[
i
=
1
∑
n
U
i
]
=
2
n
t
所
以
E
[
i
=
1
∑
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
=
n
]
=
2
n
t
，
E
[
i
=
1
∑
N
t
(
t
−
S
i
)
∣
N
t
]
=
2
N
t
t
2
.
E
(
2
N
t
t
)
=
E
(
N
t
)
2
t
=
2
t
n
=
0
∑
+
∞
n
n
!
(
λ
t
)
n
e
−
λ
t
=
2
λ
t
2