1. 什么是吉布斯现象
1.1. 什么吉布斯现象？
矛盾性：在时域描述一个不连续的信号要求信号的有无穷的频率成分，但实际情况中不可能采样到无穷的频率成分。
实际中的信号采样系统只能采样一定的频率范围，对不连续信号（或有无穷频率成分的信号）采样将会存在
频率截断
。
频率截断会引起时域信号在不连续处产生“振铃效应”，这个现象成为吉布斯现象。
吉布斯现象：由于频率截断现象，具有无穷频率分量的信号在时域的不连续处会产生“振铃效应”。
- 对连续时间周期信号可以进行傅里叶级数展开，如果只取其中的前有限项，将得到信号的一个
最小均方误差
逼近。当项目增至无穷时，这个逼近在均方意义上收敛于原信号，但并不是一致收敛的。对于信号的跳变点，傅里叶级数的部分和将在该点附近出现波动，如将其输入理想低通滤波器，则相当于对其频率作了截断，将会出现类似的效果。- Gibbs 现象的产生有两个条件：(1) 对信号频谱的锐截止；(2) 原信号存在跳变点
1.2. 吉布斯现象形成的原因？
吉布斯现象形成的原因是：频率截断。
“频率截断”可以简单地理解为一个
理想的低通滤波器
（截止频率为
w
c
w_c
w
c
），如下图所示：
| 幅频特性 | 相频特性 |
|---|---|
|
|
低通滤波器只保留
∣
w
∣
≤
w
c
|w|\le w_c
∣
w
∣
≤
w
c
的频率成分，因此输入信号的高频部分将被截断，丢失了部分频率信息势必会在时域上产生一定的影响。
下面将分别考虑
低通滤波器
对
单位阶跃信号
，
矩形脉冲信号
，
周期矩形脉冲信号
的响应来分析吉布斯现象：
低通滤波器的单位阶跃响应
理想的低通滤波器的频率响应为
H
(
j
w
)
=
G
2
w
c
(
w
)
e
−
j
w
t
d
H(jw) = G_{2w_c}(w)e^{-jwt_d}
H
(
j
w
)
=
G
2
w
c
(
w
)
e
−
j
w
t
d
则单位阶跃响应为
S
(
j
w
)
=
H
(
j
w
)
F
(
u
(
t
)
)
=
G
2
w
c
(
w
)
e
−
j
w
t
d
⋅
[
π
δ
(
w
)
+
1
j
w
]
\begin{aligned} S(jw) &= H(jw)\mathscr{F}(u(t))\\ &= G_{2w_c}(w)e^{-jwt_d}\cdot [\pi \delta(w) + \frac{1}{jw}]\\ \end{aligned}
S
(
j
w
)
=
H
(
j
w
)
F
(
u
(
t
)
)
=
G
2
w
c
(
w
)
e
−
j
w
t
d
⋅
[
π
δ
(
w
)
+
j
w
1
]
为求输出信号的时域波形，进行傅里叶反变换，有
s
(
t
)
=
F
−
1
(
S
(
j
w
)
)
=
1
2
π
∫
−
w
c
w
c
[
π
δ
(
w
)
+
1
j
w
]
e
−
j
w
t
d
⋅
e
j
w
t
d
w
=
1
2
+
∫
−
w
c
w
c
1
j
w
e
j
w
(
t
−
t
d
)
d
w
=
1
2
+
1
2
π
∫
−
w
c
w
c
1
j
w
cos
[
w
(
t
−
t
d
)
]
d
w
+
1
2
π
∫
−
w
c
w
c
1
w
sin
[
w
(
t
−
t
d
)
]
d
w
=
1
2
+
1
π
∫
0
w
c
1
w
sin
[
w
(
t
−
t
d
)
]
d
w
=
1
2
+
1
π
∫
0
w
c
(
t
−
t
d
)
sin
x
x
d
x
\begin{aligned} s(t) &= \mathscr{F}^{-1}(S(jw))\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c} [\pi \delta(w) + \frac{1}{jw}]e^{-jwt_d}\cdot e^{jwt} \mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{jw} e^{jw(t-t_d)} \mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{jw}\cos{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw} + \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{w}\sin{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{w_c}\frac{1}{w}\sin{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw}\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{w_c(t-t_d)} \frac{\sin x}{x} dx \end{aligned}
s
(
t
)
=
F
−
1
(
S
(
j
w
)
)
=
2
π
1
∫
−
w
c
w
c
[
π
δ
(
w
)
+
j
w
1
]
e
−
j
w
t
d
⋅
e
j
w
t
d
w
=
2
1
+
∫
−
w
c
w
c
j
w
1
e
j
w
(
t
−
t
d
)
d
w
=
2
1
+
2
π
1
∫
−
w
c
w
c
j
w
1
cos
[
w
(
t
−
t
d
)
]
d
w
+
2
π
1
∫
−
w
c
w
c
w
1
sin
[
w
(
t
−
t
d
)
]
d
w
=
2
1
+
π
1
∫
0
w
c
w
1
sin
[
w
(
t
−
t
d
)
]
d
w
=
2
1
+
π
1
∫
0
w
c
(
t
−
t
d
)
x
sin
x
d
x
其中上式的积分部分称为正弦积分。输出信号的时域波形如图所示，它具有以下特点：
理想低通滤波器的单位阶跃响应
-
输出波形存在
吉布斯波纹
，它的振荡频率等于
2π
w
c
\frac{2\pi}{w_c}
w
c
2
π
； -
上升沿之前存在一个幅度最大的负向振峰（
预冲
），在上升之后存在一个幅度最大的正向振峰（
过冲
）。无论截止频率
wc
w_c
w
c
多大，只要
wc
<
∞
w_c < \infty
w
c
<
∞
，过冲和预冲的幅度总是稳定值的9%； -
上升沿从
预冲
到
过冲
的时间与截止频率有关，即
tr
=
2
π
w
c
t_r = \frac{2\pi}{w_c}
t
r
=
w
c
2
π
，即
wc
w_c
w
c
越大，上升越快，吉布斯波纹振荡越明显（趋于无穷时，相当于阶跃）
低通滤波器对矩形脉冲信号的响应
矩形脉冲信号可以看成两个阶跃信号的相减，故输出信号可以看成低通滤波器的两个阶跃响应之差，易想象同样存在吉布斯现象。
G
τ
(
t
)
=
u
(
t
)
−
u
(
t
−
τ
)
G_{\tau}(t)=u(t) – u(t-\tau)
G
τ
(
t
)
=
u
(
t
)
−
u
(
t
−
τ
)
低通滤波器对周期矩形脉冲信号的响应
设周期方波信号的周期为
T
=
2
τ
T=2\tau
T
=
2
τ
，则周期方波信号可以表示为
f
(
t
)
=
2
G
τ
(
t
)
∗
δ
2
τ
(
t
)
−
1
f(t) = 2G_{\tau}(t) * \delta_{2\tau}(t) – 1
f
(
t
)
=
2
G
τ
(
t
)
∗
δ
2
τ
(
t
)
−
1
其频谱为（
Ω
=
2
π
2
τ
=
π
τ
\Omega = \frac{2\pi}{2\tau}=\frac{\pi}{\tau}
Ω
=
2
τ
2
π
=
τ
π
）
F
(
j
w
)
=
2
τ
S
a
(
τ
2
w
)
Ω
δ
Ω
(
w
)
−
2
π
δ
(
w
)
=
∑
n
=
−
∞
n
≠
0
n
=
+
∞
2
π
S
a
(
n
π
2
)
δ
(
w
−
n
Ω
)
\begin{aligned} F(jw) &= 2\tau Sa(\frac{\tau}{2}w) \Omega \delta_{_{\Omega}}(w) – 2\pi\delta(w)\\ &= \sum_{n=-\infty \atop n\not =0}^{n=+\infty} 2\pi Sa(\frac{n\pi}{2}) \delta(w – n\Omega) \end{aligned}
F
(
j
w
)
=
2
τ
S
a
(
2
τ
w
)
Ω
δ
Ω
(
w
)
−
2
π
δ
(
w
)
=
n
=
0
n
=
−
∞
∑
n
=
+
∞
2
π
S
a
(
2
n
π
)
δ
(
w
−
n
Ω
)
显然，则是一个偶函数（
F
(
j
w
)
F(jw)
F
(
j
w
)
为纯实数），也是一个奇谐函数（只有奇次谐波分量）。再考虑理想低通滤波器，其输出相应相当于只取
∣
w
∣
<
w
c
|w| < w_c
∣
w
∣
<
w
c
的频率分量，可以发现：
-
当
wc
≫
Ω
w_c \gg \Omega
w
c
≫
Ω
时，输出信号较为接近原输入信号，但是在不连续处存在预冲和过冲现象； -
随着
wc
w_c
w
c
逐渐减小，上升沿变得缓慢（陡度降低），吉布斯波纹周期变长； -
当
wc
w_c
w
c
接近
Ω\Omega
Ω
时，输出信号退化为频率等于基频
Ω\Omega
Ω
的正弦波。
1.3. 如何减小吉布斯现象？
- 低通滤波器对信号频谱进行频域加窗，频窗有限引起时域的吉布斯波纹，可以考虑其它的频窗，如三角窗等
- 另外，对时域加窗（时域截断）也会出现的吉布斯波纹，因此需要选择好合适的窗函数。