矩阵的逆及求逆矩阵的方法，可逆矩阵定理与判定方法，（非）奇异矩阵，方程Ax=b解法，Hilbert矩阵及其逆的求法，条件数（Condition Number）及其计算方法

矩阵的逆的定义

：一个

n\times n

$n \times n$

的矩阵

A

$A$

是可逆的，如果存在一个

n\times n

$n \times n$

的矩阵

C

$C$

使得：

且

CA=I, 且 AC=I

$C A = I, 且 A C = I$

其中

I=I_n

$I = I_{n}$

为

n\times n

$n \times n$

的单位矩阵，此时矩阵

C

$C$

就是矩阵

A

$A$

的逆，矩阵

A

$A$

的逆记为矩阵

−

A^{-1}

$A^{- 1}$

。若矩阵

A

$A$

可逆，那么它的逆是唯一的。

奇异矩阵与非奇异矩阵：

不可逆矩阵有时也叫奇异矩阵，可逆矩阵有时也成为非奇异矩阵。

求矩阵逆的方法：

把

n\times n

$n \times n$

的方阵

A

$A$

与同样是

n\times n

$n \times n$

的单位矩阵

I

$I$

排在一起，构成增广矩阵

]

[A \qquad I]

$[A I]$

，对此增广矩阵进行初等行变换，直到化简为

−

]

[I \qquad A^{-1}]

$[I A^{- 1}]$

，这样矩阵

A

$A$

的逆

−

A^{-1}

$A^{- 1}$

就出现在增广矩阵右边。如果不能做如上化简，则表明矩阵

A

$A$

没有逆。

可逆矩阵定理

假设矩阵

A

$A$

为

n\times n

$n \times n$

的方阵，以下命题是等价的，即它们同时为真或同时为假：

A有
方程
线性变换
$x|\rightarrow Ax x ∣ → A x 是一对一的；$
对
$R^n R n 中任意 b b b ，方程 A x = b Ax=b A x = b 至少有一个解；$
$R^n R n ；$
线性变换
$x|\rightarrow Ax x ∣ → A x 把 R n R^n R n 映射到 R n R^n R n ；$
存在
$n\times n n × n 矩阵 C C C 使得 C A = I CA=I C A = I ；$
存在
$n\times n n × n 矩阵 D D D 使得 A D = I AD=I A D = I ；$
$A^T A T 是可逆矩阵；$
$R^n R n 的一个基；$
$Col\space A=R^n C o l A = R n ；$
$dimCol\space A=n d i m C o l A = n ；$
$NulA=\{0\} N u l A = { 0 } ；$
$dimNul\space A=0 d i m N u l A = 0 ；$

判断矩阵可逆的方法：

判断矩阵可逆的方法有很多，例如：

行列式判别法：若一个矩阵行列式不为零，则可逆；若行列式等于零，则不可逆。
若
$n\times n n × n 的矩阵 A A A 是可逆的，则对每一 R n R^n R n 中的 b b b ，方程 A x = b Ax=b A x = b 有唯一解 x = A − 1 b x=A^{-1}b x = A − 1 b 。$

解方程

如果
$n\times n n × n 的矩阵 A A A 是可逆的，那么可以用MATLAB中的反斜杠求解： x = A \ b x=A \backslash b x = A \ b$

A =
     1     2
     4     7

>> [n,n] = size(A)
n =
     2
n =
     2

>> b = rand(n,1)
b =
    0.5469
    0.9575
    
>> x1= A\b     //MATLAB中使用反斜杠“\”法直接求x
x1 =
   -1.9132
    1.2300

（此方法通用性好）不论矩阵
$\qquad b] [ A b ] ，再把此增广矩阵化简为简化阶梯阵即可。$

>> C = [A b]
C =
    1.0000    2.0000    0.5469
    4.0000    7.0000    0.9575
    
>> rref(C)   // MATLAB中rref函数将矩阵化简为简化阶梯阵。
ans =
    1.0000         0   -1.9132
         0    1.0000    1.2300

可见，化简得到的简化阶梯阵最后一列

−

1.9132

1.2300

]

\begin{bmatrix}-1.9132\\1.2300\end{bmatrix}

$[- 1.9132 1.2300]$

即为方程的解，与方法1结果相同。

如果
$n\times n n × n 的矩阵 A A A 是可逆的，可以求矩阵 A A A 的逆 A − 1 A^{-1} A − 1 ，则方程的解为： x = A − 1 b x=A^{-1}b x = A − 1 b$

A =
     1     2
     4     7
     
>> Ai = inv(A)    //函数inv求矩阵A的逆
Ai =
    -7     2
     4    -1
     
>> x2 = Ai * b
x2 =
   -1.9132
    1.2300

可见解得的结果与上面两种方法相同。

关于Hilbert矩阵及其逆的求法：

该矩阵为方阵，中任意元素表示为

−

A_{ij}=\frac {1}{i+j-1}

$A_{i j} = \frac{1}{i + j - 1}$

。Hilbert矩阵是

高度病态

的，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化，病态程度和阶数相关。

Hilbert矩阵（

H

$H$

）阶数越大，其病态程度越严重，使用浮点数计算来解方程

Hx=b

$H x = b$

的误差就越大。

MATLAB里面有内置函数
invhilb(n)
来计算n阶Hilbert矩阵的逆，输出的解为

精确解

，如下：

>> H = hilb(5)   //生成5阶Hilbert矩阵
H =
       1              1/2            1/3            1/4            1/5     
       1/2            1/3            1/4            1/5            1/6     
       1/3            1/4            1/5            1/6            1/7     
       1/4            1/5            1/6            1/7            1/8     
       1/5            1/6            1/7            1/8            1/9 
       
>> invhilb(5)   //求5阶Hilbert矩阵逆的精确解
ans =
      25           -300           1050          -1400            630       
    -300           4800         -18900          26880         -12600       
    1050         -18900          79380        -117600          56700       
   -1400          26880        -117600         179200         -88200       
     630         -12600          56700         -88200          44100

病态矩阵与良态矩阵：

一个可逆矩阵是病态的（ill-conditioned），即中的某些元素稍作改变就会变成奇异矩阵（不可逆矩阵），矩阵的逆和以其为系数矩阵的方程组的解对微小的扰动十分敏感，这类矩阵叫病态矩阵，或接近奇异的矩阵。这类矩阵会给数值求解带来很大困难。

矩阵病态的反面是

良态

（well-conditioned），关于良态矩阵与病态矩阵的判断，可以使用

条件数

（Condition Number）作为依据，见下文。

在MATLAB中实现上面三种方法，对于求解存在该类矩阵的方程（如

Ax=b

$A x = b$

中

A

$A$

为Hilbert矩阵），

精确度都是不太够的

，可能会有warning。

>> A = hilb(20)   //生成20阶的Hilbert矩阵
A =
  Columns 1 through 5
       1              1/2            1/3            1/4            1/5     
       1/2            1/3            1/4            1/5            1/6     
       1/3            1/4            1/5            1/6            1/7     
       1/4            1/5            1/6            1/7            1/8     
       1/5            1/6            1/7            1/8            1/9     
       1/6            1/7            1/8            1/9            1/10    
       1/7            1/8            1/9            1/10           1/11    
       1/8            1/9            1/10           1/11           1/12    
       1/9            1/10           1/11           1/12           1/13    
       1/10           1/11           1/12           1/13           1/14    
       1/11           1/12           1/13           1/14           1/15    
       1/12           1/13           1/14           1/15           1/16    
       1/13           1/14           1/15           1/16           1/17    
       1/14           1/15           1/16           1/17           1/18    
       1/15           1/16           1/17           1/18           1/19    
       1/16           1/17           1/18           1/19           1/20    
       1/17           1/18           1/19           1/20           1/21    
       1/18           1/19           1/20           1/21           1/22    
       1/19           1/20           1/21           1/22           1/23    
       1/20           1/21           1/22           1/23           1/24    
  Columns 6 through 10
       1/6            1/7            1/8            1/9            1/10    
       1/7            1/8            1/9            1/10           1/11    
       1/8            1/9            1/10           1/11           1/12    
       1/9            1/10           1/11           1/12           1/13    
       1/10           1/11           1/12           1/13           1/14    
       1/11           1/12           1/13           1/14           1/15    
       1/12           1/13           1/14           1/15           1/16    
       1/13           1/14           1/15           1/16           1/17    
       1/14           1/15           1/16           1/17           1/18    
       1/15           1/16           1/17           1/18           1/19    
       1/16           1/17           1/18           1/19           1/20    
       1/17           1/18           1/19           1/20           1/21    
       1/18           1/19           1/20           1/21           1/22    
       1/19           1/20           1/21           1/22           1/23    
       1/20           1/21           1/22           1/23           1/24    
       1/21           1/22           1/23           1/24           1/25    
       1/22           1/23           1/24           1/25           1/26    
       1/23           1/24           1/25           1/26           1/27    
       1/24           1/25           1/26           1/27           1/28    
       1/25           1/26           1/27           1/28           1/29    
  Columns 11 through 15
       1/11           1/12           1/13           1/14           1/15    
       1/12           1/13           1/14           1/15           1/16    
       1/13           1/14           1/15           1/16           1/17    
       1/14           1/15           1/16           1/17           1/18    
       1/15           1/16           1/17           1/18           1/19    
       1/16           1/17           1/18           1/19           1/20    
       1/17           1/18           1/19           1/20           1/21    
       1/18           1/19           1/20           1/21           1/22    
       1/19           1/20           1/21           1/22           1/23    
       1/20           1/21           1/22           1/23           1/24    
       1/21           1/22           1/23           1/24           1/25    
       1/22           1/23           1/24           1/25           1/26    
       1/23           1/24           1/25           1/26           1/27    
       1/24           1/25           1/26           1/27           1/28    
       1/25           1/26           1/27           1/28           1/29    
       1/26           1/27           1/28           1/29           1/30    
       1/27           1/28           1/29           1/30           1/31    
       1/28           1/29           1/30           1/31           1/32    
       1/29           1/30           1/31           1/32           1/33    
       1/30           1/31           1/32           1/33           1/34    
  Columns 16 through 20
       1/16           1/17           1/18           1/19           1/20    
       1/17           1/18           1/19           1/20           1/21    
       1/18           1/19           1/20           1/21           1/22    
       1/19           1/20           1/21           1/22           1/23    
       1/20           1/21           1/22           1/23           1/24    
       1/21           1/22           1/23           1/24           1/25    
       1/22           1/23           1/24           1/25           1/26    
       1/23           1/24           1/25           1/26           1/27    
       1/24           1/25           1/26           1/27           1/28    
       1/25           1/26           1/27           1/28           1/29    
       1/26           1/27           1/28           1/29           1/30    
       1/27           1/28           1/29           1/30           1/31    
       1/28           1/29           1/30           1/31           1/32    
       1/29           1/30           1/31           1/32           1/33    
       1/30           1/31           1/32           1/33           1/34    
       1/31           1/32           1/33           1/34           1/35    
       1/32           1/33           1/34           1/35           1/36    
       1/33           1/34           1/35           1/36           1/37    
       1/34           1/35           1/36           1/37           1/38    
       1/35           1/36           1/37           1/38           1/39    

>> b = rand(20,1)   //生成b向量
b =
     687/712   
     589/3737  
    6271/6461  
     581/607   
     614/1265  
    1142/1427  
     689/4856  
     407/965   
    1065/1163  
      61/77    
    1966/2049  
    3581/5461  
     489/13693 
     439/517   
     283/303   
    1481/2182  
     979/1292  
     541/728   
    1645/4194  
    1406/2145  
    
>> x1 = A\b  //反斜杠法求解x=A\b
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be
inaccurate. RCOND =  5.231543e-20.     //此处为Warning，
 
x1 =
-3424659463       
528255780716       
-19975903782848       
321018859628437       
-2688760131266522       
12761814815871434       
-34399090053517208       
45897097341921456       
-7254237859641766       
-37322034685407312       
-49284163552153728       
217508096052998944       
-205446702755182752       
64773453754244512       
-105964986075521504       
193373000517961920       
-30851727609549800       
-163776311038511840       
135720005301748528       
-33347024092943792 


R = rref([A b]); x3 = R(:,21) //方法2求解，化简阶梯阵的方法，此方法最通用，没有warning。
x3 =
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0       
       1       
       0       
       0       
       0       
       0       
       0   

>> x2=inv(A)*b  //方法3求解，矩阵A的逆乘b
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be
inaccurate. RCOND =  9.542396e-20. 
 
x2 =
-3095618963       
478515839234       
-18128046963749       
291709089884240       
-2443748498671269       
11565944181737902       
-30772016457394916       
38422934259310336       
6062876912518655       
-64009870499747464       
-815625744960023       
161923881096513024       
-174734421275108320       
49731260512141016       
-57082196217625456       
111820626128154624       
24957912964649792       
-173285108058004640       
129261793086585504       
-30878300969326916

误差讨论：

上面的Warning中的“

RCOND

”表示条件数的倒数（reciprocal），如果这个值很小，则表示条件数很大，也就是说矩阵求解的误差越大。

条件数很大的矩阵是病态矩阵，对矩阵中元素很小的扰动会对结果产生很大影响。上面对含有Hilbert矩阵的方程进行求解过程中得到的
RCOND = 9.542396e-20
或
RCOND = 5.231543e-20
都是很小的，表示条件数都非常大，所以，产生上面报警的计算是非常不精确的。

由于MATLAB中的反斜杠求解

Ax=b

$A x = b$

（矩阵

A

$A$

是可逆方阵）算法是使用了部分主元法的LU分解法，使用部分主元法的算法计算量较小，且舍入误差较小。所以这种方法误差总体来说较小。

如果使用inv(A)先求A的逆，再x2=inv(A)*b的话，MATLAB先计算inv(A)，也就是求解

Ax=e_i

$A x = e_{i}$

，

e_i

$e_{i}$

是单位矩阵

I

$I$

中的每一列向量，这样每一列向量

e_i

$e_{i}$

对应的解向量

x

$x$

求出后，拼合起来就是矩阵

A

$A$

的逆

−

A^{-1}

$A^{- 1}$

，最后计算

−

A^{-1}b

$A^{- 1} b$

。可见此种计算方法的计算量很大，所以每步的误差积累更多，总体误差更大。

对于使用rref( )求增广矩阵的简化阶梯式的方法，由于这种算法不检测矩阵是病态还是良态（所以不会提示矩阵是否是近奇异的或者病态的），仅在小的矩阵中比较精确，矩阵很大则计算很慢，但是这并不是说这种方法就最精确，其误差和上述两种方法在一个量级，但是一般不使用这种方法。

关于条件数（Condition Number）

条件数越大，矩阵越接近于奇异。单位矩阵的条件数是1，奇异矩阵的条件数为无穷大。在极端情况下，矩阵计算程序可能无法区别奇异矩阵与病态矩阵。

当条件数很大时，矩阵计算可能产生很大的误差。

定义：矩阵

A

$A$

的条件数（Condition Number）为

∣

−

∣

||A||\space ||A^{-1}||

$∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ A^{- 1} ∣ ∣$

。

计算方法有很多种，如：矩阵

A

$A$

是可逆矩阵，其最大奇异值和最小奇异值之比

\frac {\sigma_1}{\sigma_n}

$\frac{σ _{1}}{σ _{n}}$

就是矩阵

A

$A$

的条件数。

MATLAB中计算矩阵条件数的函数：cond( )。例如：

A =
    0.7060    0.8235    0.4387    0.4898    0.2760
    0.0318    0.6948    0.3816    0.4456    0.6797
    0.2769    0.3171    0.7655    0.6463    0.6551
    0.0462    0.9502    0.7952    0.7094    0.1626
    0.0971    0.0344    0.1869    0.7547    0.1190

>> cond(A)   //计算矩阵A的条件数
ans =
    7.4466

原文链接：https://blog.csdn.net/Zijie123pea/article/details/113798895

可逆矩阵定理

解方程 A x = b Ax=b A x = b 三种方法：

病态矩阵与良态矩阵：

误差讨论：

关于条件数（Condition Number）

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解方程