选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。
线性插值
问题5.1
给定两个插值点
其中
，怎样做通过这两点的一次插值函数？
过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。如图5.1所示。
图5.1 线性插值函数
在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。
下面先用待定系数法构造插值直线。
设直线方程为
，将
分别代入直线方程
得：
当
时，因
，所以方程组有解，而且解是唯一的。这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。
当
时，若用两点式表示这条直线，则有：
（5.1）
这种形式称为拉格朗日插值多项式。
，
，
称为插值基函数，计算
，
的值，易见
（5.2）
在拉格朗日插值多项式中可将
看做两条直线
，
的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。
拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。
线性插值误差
定理5.1
记
为以
为插值点的插值函数，
。这里
，设
一阶连续可导，
在
上存在，则对任意给定的
，至少存在一点
，使
（5.3）
证明
令
，因
是
的根，所以可设
对任何一个固定的点
，引进辅助函数
：
则
。
由定义可得
，这样
至少有3个零点，不失一般性，假定
，分别在
和
上应用洛尔定理，可知
在每个区间至少存在一个零点，不妨记为
和
，即
和
，对
在
上应用洛尔定理，得到
在
上至少有一个零点
，
。
现在对
求二次导数，其中
的线性函数)，故有
代入
，得
所以
即
5.2.2 二次插值
问题5.2
给定三个插值点
，
,其中
互不相等，怎样构造函数
的二次的（抛物线）插值多项式？
平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。
图5.2 三个插值点的二次插值
仿造线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法构造插值多项式。设
每个基函数
是一个二次函数，对
来说，要求
是它的零点，因此可设
同理
，
也相对应的形式，得
将
代入
，得
同理将
代入
得到
和
的值，以及
和
的表达式。
也容易验证：
插值基函数仍然满足：
二次插值函数误差：
上式证明完全类似于线性插值误差的证明，故省略。
插值作为函数逼近方法，常用来作函数的近似计算。当计算点落在插值点区间之内时叫做内插，否则叫做外插。内插的效果一般优于外插。
例5.1
给定
。构造线性插值函数并用插值函数计算
和
解：构造线性插值函数：
分别将
代入上式，得
，准确值
，准确值
例5.2
给定
。构造二次插值函数并计算
。
解：
，准确值
例5.3
要制做三角函数的函数
值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试决定其最大允许步长。
解
：设最大允许步长
5.2.3
次拉格朗日插值多项式
问题5.3
给定平面上两个互不相同的插值点
，有且仅有一条通过这两点的直线；给定平面上三个互不相同的插值点
，有且仅有一条通过这三个点的二次曲线；给定平面上
个互不相同的插值点
，互不相同是指
互不相等，是否有且仅有一条不高于
次的插值多项式曲线，如果曲线存在，那么如何简单地作出这条
次插值多项式曲线？
分析：
次多项式
，它完全由
个系数
决定。若曲线
通过给定平面上
个互不相同的插值点
，则
应满足
，事实上一个插值点就是一个插值条件。
将
依次代入
中得到线性方程组：
（5.4）
方程组的系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：
当
互异时，
，所以方程组（5.4）的解存在且惟一。即问题5.3的解存在而且惟一。
通过求解（5.4）得到插值多项式
，因其计算量太大而不可取，仿照线性以及二次插值多项式的拉格朗日形式，我们可构造
次拉格朗日插值多项式。
对于
个互不相同的插值节点
，由
次插值多项式的惟一性，可对每个插值节点
作出相应的
次插值基函数
。
要求
是
，的零点，因此可设
由
将
代入
，得到
（5.5）
作其组合：
（5.6）
那么
不高于
次且满足
，故
就是关于插值点
的插值多项式，这种插值形式称为拉格朗日插值多项式。
称为关于节点
的拉格朗日基函数。
例5.4
给出下列插值节点数据，做三次拉格朗日插值多项式，并计算
（0.6）。
|
|
-2.00 |
0.00 |
1.00 |
2.00 |
|
|
17.00 |
1.00 |
2.00 |
17.00 |
解：
拉格朗日插值基函数为：
三次拉格朗日插值多项式：
n
次插值多项式的误差
定理5.2
设
是
上过
的
次插值多项式，
互不相等，当
时，则插值多项式的误差：
其中
(5.7)
证明
*
：
记
。由于
，因而
是
的根，于是可设
下面的目标是算出
，为此引入变量为
的函数
：
（5.8）
令
，得
令
，由定义
即
至少有
个零点，由于
，由洛尔定理，
在
相邻的两个零点之间至少有一个零点，即
至少有
个零点。同理再对
应用洛尔定理，即
至少有
个零点，反复应用洛尔定理得到
至少有一个零点
。
另一方面，对
求
阶导数，有
令
，有
得到
（5.9）
由于
的零点
与
的零点
有关，因而
为
的函数。
若|
可表示为
（5.10）
由（5.9）式可以看到，当
是不高于
次的多项式时，
，即
。
对于函数
，关于节点
的拉格朗日插值多项式就是其本身，故拉格朗日基函数
满足
令
，得到
。
定理5.2给出了当被插函数充分光滑时的插值误差或称插值余项表达式，但是，在实际计算中，并不知道
的具体表示，难以得到
的形式或较精确的界限
，因此也难以得到界
。在实际计算中，可对误差运用下面的事后估计方法。
给出
个插值节点
，任选其中的
个插值节点，不妨取
，构造一个
次插值多项式，记为
。在
个插值节点中另选
个插值点，不妨取
，构造一个
次插值多项式，记为
。由定理2可得到
（5.11）
（5.12）
设
在插值区间内连续而且变化不大，有
，则
从而可得到
（5.13）
（5.14）
拉格朗日插值多项式的算法
下面用伪码描述拉格朗日插值多项式的算法。
1：输入：插值节点控制数
，插值点序列
，要计算的函数点
，及变量
。
2：FOR i ：=0，1，…，n //i控制拉格朗日基函数序列
{tmp：=1；
2.1 FOR j：=0，1，…，i-1，i+1，…，n
{ //对于给定
，计算拉格朗日基函数
；
} // tmp表示拉格朗日基函数
2.2
}
3：输出
的计算结果
。