拉普拉斯方程在球、柱坐标系下的解
球坐标系下的拉普拉斯方程解
-
球坐标系下的拉普拉斯方程形式
1r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
u
∂
r
)
+
1
r
2
s
i
n
θ
∂
∂
θ
(
s
i
n
θ
∂
u
∂
θ
)
+
1
r
2
s
i
n
2
θ
∂
2
u
∂
φ
2
=
0
\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2\dfrac{\partial u}{\partial r})+\dfrac{1}{r^2sinθ}\dfrac{\partial}{\partial θ}(sin\theta\dfrac{\partial u}{\partial \theta})+\dfrac{1}{r^2sin^2\theta}\dfrac{\partial^2u}{\partial φ^2}=0
r
2
1
∂
r
∂
(
r
2
∂
r
∂
u
)
+
r
2
s
i
n
θ
1
∂
θ
∂
(
s
i
n
θ
∂
θ
∂
u
)
+
r
2
s
i
n
2
θ
1
∂
φ
2
∂
2
u
=
0
-
分离线量
rr
r
，角量
θ、
φ
\theta、\varphi
θ
、
φ
令
u(
r
,
θ
,
φ
)
=
R
(
r
)
Y
(
θ
,
φ
)
u(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi)
u
(
r
,
θ
,
φ
)
=
R
(
r
)
Y
(
θ
,
φ
)
，代入方程后分离变量
得到
1R
d
d
r
(
r
2
d
R
d
r
)
=
−
1
Y
s
i
n
θ
∂
∂
θ
(
s
i
n
θ
∂
Y
∂
θ
)
−
1
Y
1
s
i
n
2
θ
∂
2
Y
∂
φ
2
\dfrac{1}{R}\dfrac{d}{dr}(r^2\dfrac{dR}{dr})=\dfrac{-1}{Ysin\theta}\dfrac{\partial }{\partial \theta}(sin\theta \dfrac{\partial Y}{\partial \theta})-\dfrac{1}{Y}\dfrac{1}{sin^2\theta}\dfrac{\partial^2Y}{\partial \varphi^2}
R
1
d
r
d
(
r
2
d
r
d
R
)
=
Y
s
i
n
θ
−
1
∂
θ
∂
(
s
i
n
θ
∂
θ
∂
Y
)
−
Y
1
s
i
n
2
θ
1
∂
φ
2
∂
2
Y
由于线量、角量各自独立，因此上式的值只能为常数，令此常数为
l(
l
+
1
)
l(l+1)
l
(
l
+
1
)
于是得到两个常微分方程
其中，关于
rr
r
的方程易解得
R(
r
)
=
C
r
l
+
D
r
−
(
l
+
1
)
R(r)=Cr^l+Dr^{-(l+1)}
R
(
r
)
=
C
r
l
+
D
r
−
(
l
+
1
)
关于角量的方程
1s
i
n
θ
∂
∂
θ
(
s
i
n
θ
∂
Y
∂
θ
)
+
1
s
i
n
2
θ
∂
2
Y
∂
φ
2
+
Y
l
(
l
+
1
)
=
0
\dfrac{1}{sin\theta}\dfrac{\partial }{\partial \theta}(sin\theta \dfrac{\partial Y}{\partial \theta})+\dfrac{1}{sin^2\theta}\dfrac{\partial^2Y}{\partial \varphi^2}+Yl(l+1)=0
s
i
n
θ
1
∂
θ
∂
(
s
i
n
θ
∂
θ
∂
Y
)
+
s
i
n
2
θ
1
∂
φ
2
∂
2
Y
+
Y
l
(
l
+
1
)
=
0
此式称为
球函数方程
-
分离球函数方程
取
Y(
θ
,
φ
)
=
Θ
(
θ
)
Φ
(
φ
)
Y(\theta,\varphi)=\varTheta(\theta)\Phi(\varphi)
Y
(
θ
,
φ
)
=
Θ
(
θ
)
Φ
(
φ
)
，代入球函数方程可得
si
n
θ
Θ
d
d
θ
(
s
i
n
θ
d
Θ
d
θ
)
+
l
(
l
+
1
)
s
i
n
2
θ
=
−
1
Φ
d
2
Φ
d
φ
2
\dfrac{sin\theta}{\varTheta}\dfrac{d}{d\theta}(sin\theta\dfrac{d\varTheta}{d\theta})+l(l+1)sin^2\theta=-\dfrac{1}{\Phi}\dfrac{d^2\Phi}{d\varphi^2}
Θ
s
i
n
θ
d
θ
d
(
s
i
n
θ
d
θ
d
Θ
)
+
l
(
l
+
1
)
s
i
n
2
θ
=
−
Φ
1
d
φ
2
d
2
Φ
同样的，由于θ与φ独立，所以等式的值只能为常数，令此常数为
λ\lambda
λ
于是得到分别关于
φ,
θ
\varphi,\theta
φ
,
θ
的两个方程
其中φ的构成”
本征值问题
”
λ=
m
2
\lambda=m^2
λ
=
m
2
Φ(
φ
)
=
A
c
o
s
m
φ
+
B
s
i
n
m
φ
\Phi(\varphi)=Acosm\varphi+Bsinm\varphi
Φ
(
φ
)
=
A
c
o
s
m
φ
+
B
s
i
n
m
φ
-
对θ的方程进行变化
令
x=
c
o
s
θ
x=cos\theta
x
=
c
o
s
θ
，于是得到
勒让德方程
dd
x
[
(
1
−
x
2
)
d
Θ
d
θ
]
+
[
l
(
l
+
1
)
−
m
2
1
−
x
2
]
Θ
=
0
\dfrac{d}{dx}[(1-x^2)\dfrac{d\varTheta}{d\theta}]+[l(l+1)-\dfrac{m^2}{1-x^2}]\varTheta=0
d
x
d
[
(
1
−
x
2
)
d
θ
d
Θ
]
+
[
l
(
l
+
1
)
−
1
−
x
2
m
2
]
Θ
=
0
柱坐标系下的拉普拉斯方程解
-
柱坐标系下的拉普拉斯方程形式
ρ∂
∂
ρ
(
ρ
∂
u
∂
ρ
)
+
1
ρ
2
∂
2
u
∂
φ
2
+
∂
2
u
∂
z
2
=
0
\rho\dfrac{\partial}{\partial \rho}(\rho\dfrac{\partial u}{\partial \rho})+\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial ^2u}{\partial φ^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial z^2}=0
ρ
∂
ρ
∂
(
ρ
∂
ρ
∂
u
)
+
ρ
2
1
∂
φ
2
∂
2
u
+
∂
z
2
∂
2
u
=
0