比力方程是惯性导航系统的基本方程，它解决了惯性导航中加速度计的测量值（比力）和导航参数（速度）之间的关系。为使自己对其有足够的了解，通过自己的认知将其推导一下，在此标记。
注：本文依据《惯性导航(第二版)》（秦永元）
一、相关符号及概念的描述
1、比力
f
⃗
\vec{f}
f
（specific force）：单位质量上作用的非引力的外力，用公式表示为
f
⃗
=
F
⃗
m
\vec{f}=\frac{\vec{F}}{m}
f
=
m
F
。在我的理解中，一直都把比力当作加速度计测量的加速度。
2、地心惯性系（i系）、地球坐标系(e系)、理想平台坐标系(T系，导航坐标系的无误差复现)
3、
R
⃗
\vec{R}
R
表示地心至
T系
的支点引的位置矢量，可以认为是地心至
T系
原点（即机体中心）的连线矢量。
4、
d
R
⃗
d
t
∣
i
\frac{d\vec{R}}{dt}|_i
d
t
d
R
∣
i
表示矢量
R
⃗
\vec{R}
R
相对于
i系
对时间的一阶导数，即机体相对于
i系
的速度。
5、
d
R
⃗
d
t
∣
e
\frac{d\vec{R}}{dt}|_e
d
t
d
R
∣
e
表示矢量
R
⃗
\vec{R}
R
相对于
e系
对时间的一阶导数，即机体相对于
e系
的速度，或者机体相对于地球的运动速度，即地速，记为
V
⃗
e
T
\vec{V}_{eT}
V
e
T
。
6、
ω
⃗
i
e
\vec{\omega}_{ie}
ω
i
e
表示
e系
相对于
i系
的转动角速度，实际就是地球的自转角速度矢量，是一个常矢量。其他的矢量
ω
⃗
\vec{\omega}
ω
表示意义同理。
7、
m
G
⃗
m\vec{G}
m
G
表示质量
m
m
m
所受地球的万有引力，方向指向地心。
8、
G
⃗
\vec{G}
G
表示引力加速度。
9、
m
g
⃗
m\vec{g}
m
g
表示质量
m
m
m
所受的重力，方向垂直于地面向下。
10、
g
⃗
\vec{g}
g
表示重力加速度。
11、
F
⃗
c
\vec{F}_c
F
c
表示维持质量
m
m
m
跟随地球旋转的向心力，实质为万有引力分量。
二、公式铺垫
1、万有引力
如图所示，显然：
m
G
⃗
=
m
g
⃗
+
F
⃗
c
m\vec{G}=m\vec{g}+\vec{F}_c
m
G
=
m
g
+
F
c
故
(1)
G
⃗
=
g
⃗
+
a
⃗
c
\tag{1} \vec{G}=\vec{g}+\vec{a}_c
G
=
g
+
a
c
(
1
)
2、加速度
设平台上加速度计质量块的质量为
m
m
m
，其受到的力为非引力外力
F
⃗
\vec{F}
F
和地球引力
m
G
⃗
m\vec{G}
m
G
，根据牛顿第二定律：
F
⃗
+
m
G
⃗
=
m
d
2
R
⃗
d
t
2
∣
i
\vec{F}+m\vec{G}=m\frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i
F
+
m
G
=
m
d
t
2
d
2
R
∣
i
所以：
(2)
d
2
R
⃗
d
t
2
∣
i
=
f
⃗
+
G
⃗
\tag{2} \frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i=\vec{f}+\vec{G}
d
t
2
d
2
R
∣
i
=
f
+
G
(
2
)
三、比力方程的推导
通过公式
(
2
)
(2)
(
2
)
可以看出，表示出比力
f
⃗
\vec{f}
f
必须要求得
d
2
R
⃗
d
t
2
∣
i
\frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i
d
t
2
d
2
R
∣
i
和
G
⃗
\vec{G}
G
。首先求
d
2
R
⃗
d
t
2
∣
i
\frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i
d
t
2
d
2
R
∣
i
，即机体相对于
i系
的加速度，我们首先求机体相对于
i系
的速度
d
R
⃗
d
t
∣
i
\frac{d\vec{R}}{dt}|_i
d
t
d
R
∣
i
。
根据哥氏定理可得：
d
R
⃗
d
t
∣
i
=
d
R
⃗
d
t
∣
e
+
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
\frac{d\vec{R}}{dt}|_i=\frac{d\vec{R}}{dt}|_e+\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}
d
t
d
R
∣
i
=
d
t
d
R
∣
e
+
ω
i
e
×
R
即：
(3)
d
R
⃗
d
t
∣
i
=
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
\tag{3} \frac{d\vec{R}}{dt}|_i=\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}
d
t
d
R
∣
i
=
V
e
T
+
ω
i
e
×
R
(
3
)
注：对于哥氏定理不清楚的可以参考
006哥氏定理
.
再次解释一下，该公式表示：机体相对于
i系
的速度等于机体相对于
e系
的速度加上牵连点的速度。
对上式再次求导，可得：
(4)
d
2
R
⃗
d
t
2
∣
i
=
d
d
t
∣
i
(
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
=
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
i
+
d
d
t
∣
i
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
\tag{4} \frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i =\frac{d}{dt}|_i(\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}) =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_i+\frac{d}{dt}|_i(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})
d
t
2
d
2
R
∣
i
=
d
t
d
∣
i
(
V
e
T
+
ω
i
e
×
R
)
=
d
t
d
V
e
T
∣
i
+
d
t
d
∣
i
(
ω
i
e
×
R
)
(
4
)
公式
(
4
)
(4)
(
4
)
右边第一部分再次利用哥氏定理得：
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
i
=
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
+
ω
⃗
i
T
×
V
⃗
e
T
\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_i=\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+\vec{\omega}_{iT}×\vec{V}_{eT}
d
t
d
V
e
T
∣
i
=
d
t
d
V
e
T
∣
T
+
ω
i
T
×
V
e
T
其中，
ω
⃗
i
T
=
ω
⃗
i
e
+
ω
⃗
e
T
\vec{\omega}_{iT}=\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT}
ω
i
T
=
ω
i
e
+
ω
e
T
，这表示
T系
相对于
i系
的角速度等于
e系
相对于
i系
的角速度与
T系
相对于
e系
角速度之和。
即：
(5)
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
i
=
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
+
(
ω
⃗
i
e
+
ω
⃗
e
T
)
×
V
⃗
e
T
=
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
+
ω
⃗
i
e
×
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
e
T
×
V
⃗
e
T
\tag{5} \frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_i=\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+(\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT} =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+\vec{\omega}_{ie}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{eT}×\vec{V}_{eT}
d
t
d
V
e
T
∣
i
=
d
t
d
V
e
T
∣
T
+
(
ω
i
e
+
ω
e
T
)
×
V
e
T
=
d
t
d
V
e
T
∣
T
+
ω
i
e
×
V
e
T
+
ω
e
T
×
V
e
T
(
5
)
公式(4)右边第二部分：
由于
ω
⃗
i
e
\vec{\omega}_{ie}
ω
i
e
是一个常矢量，所以可得：
d
d
t
∣
i
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
=
ω
⃗
i
e
×
d
d
t
∣
i
(
R
⃗
)
=
ω
⃗
i
e
×
d
R
⃗
d
t
∣
i
\frac{d}{dt}|_i(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})=\vec{\omega}_{ie}×\frac{d}{dt}|_i(\vec{R})=\vec{\omega}_{ie}×\frac{d\vec{R}}{dt}|_i
d
t
d
∣
i
(
ω
i
e
×
R
)
=
ω
i
e
×
d
t
d
∣
i
(
R
)
=
ω
i
e
×
d
t
d
R
∣
i
将公式
(
3
)
(3)
(
3
)
代入可得：
(6)
d
d
t
∣
i
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
=
ω
⃗
i
e
×
(
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
=
ω
⃗
i
e
×
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
i
e
×
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
\tag{6} \frac{d}{dt}|_i(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})=\vec{\omega}_{ie}×(\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})=\vec{\omega}_{ie}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})
d
t
d
∣
i
(
ω
i
e
×
R
)
=
ω
i
e
×
(
V
e
T
+
ω
i
e
×
R
)
=
ω
i
e
×
V
e
T
+
ω
i
e
×
(
ω
i
e
×
R
)
(
6
)
将公式
(
5
)
(5)
(
5
)
和公式
(
6
)
(6)
(
6
)
代入公式
(
4
)
(4)
(
4
)
可得：
d
2
R
⃗
d
t
2
∣
i
=
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
+
ω
⃗
i
e
×
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
e
T
×
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
i
e
×
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
i
e
×
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
\frac{d^2\vec{R}}{dt^2}|_i =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+\vec{\omega}_{ie}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{eT}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})
d
t
2
d
2
R
∣
i
=
d
t
d
V
e
T
∣
T
+
ω
i
e
×
V
e
T
+
ω
e
T
×
V
e
T
+
ω
i
e
×
V
e
T
+
ω
i
e
×
(
ω
i
e
×
R
)
(7)
=
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
+
(
2
ω
⃗
i
e
+
ω
⃗
e
T
)
×
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
i
e
×
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
\tag{7} =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})
=
d
t
d
V
e
T
∣
T
+
(
2
ω
i
e
+
ω
e
T
)
×
V
e
T
+
ω
i
e
×
(
ω
i
e
×
R
)
(
7
)
将公式(2)代入公式(7)可得：
f
⃗
+
G
⃗
=
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
+
(
2
ω
⃗
i
e
+
ω
⃗
e
T
)
×
V
⃗
e
T
+
ω
⃗
i
e
×
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
\vec{f}+\vec{G} =\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T+(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})
f
+
G
=
d
t
d
V
e
T
∣
T
+
(
2
ω
i
e
+
ω
e
T
)
×
V
e
T
+
ω
i
e
×
(
ω
i
e
×
R
)
即：
(8)
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
=
f
⃗
−
(
2
ω
⃗
i
e
+
ω
⃗
e
T
)
×
V
⃗
e
T
+
G
⃗
−
ω
⃗
i
e
×
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
\tag{8} \frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T=\vec{f}-(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{G}-\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})
d
t
d
V
e
T
∣
T
=
f
−
(
2
ω
i
e
+
ω
e
T
)
×
V
e
T
+
G
−
ω
i
e
×
(
ω
i
e
×
R
)
(
8
)
下面还要看一个图：
在这个图中，动点为S，矢量
R
⃗
\vec{R}
R
如上文定义。
角速度
ω
⃗
i
e
\vec{\omega}_{ie}
ω
i
e
方向如图所示。
这样，根据右手规则，线速度
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
\vec{\omega}_{ie}×\vec{R}
ω
i
e
×
R
如图所示（搞错线速度方向的同学请注意两矢量的方向）。
那么
ω
⃗
i
e
×
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})
ω
i
e
×
(
ω
i
e
×
R
)
得到向心加速度，根据右手法则方向指向地轴。
令：
(9)
a
⃗
c
=
ω
⃗
i
e
×
(
ω
⃗
i
e
×
R
⃗
)
\tag{9} \vec{a}_c=\vec{\omega}_{ie}×(\vec{\omega}_{ie}×\vec{R})
a
c
=
ω
i
e
×
(
ω
i
e
×
R
)
(
9
)
将
(
9
)
(9)
(
9
)
代入
(
8
)
(8)
(
8
)
得：
(10)
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
=
f
⃗
−
(
2
ω
⃗
i
e
+
ω
⃗
e
T
)
×
V
⃗
e
T
+
G
⃗
−
a
⃗
c
\tag{10} \frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T=\vec{f}-(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{G}-\vec{a}_c
d
t
d
V
e
T
∣
T
=
f
−
(
2
ω
i
e
+
ω
e
T
)
×
V
e
T
+
G
−
a
c
(
1
0
)
再将
(
1
)
(1)
(
1
)
代入
(
10
)
(10)
(
1
0
)
得：
d
V
⃗
e
T
d
t
∣
T
=
f
⃗
−
(
2
ω
⃗
i
e
+
ω
⃗
e
T
)
×
V
⃗
e
T
+
g
⃗
\frac{d\vec{V}_{eT}}{dt}|_T=\vec{f}-(2\vec{\omega}_{ie}+\vec{\omega}_{eT})×\vec{V}_{eT}+\vec{g}
d
t
d
V
e
T
∣
T
=
f
−
(
2
ω
i
e
+
ω
e
T
)
×
V
e
T
+
g
该公式即为比力方程。关于比力方程就不再多做介绍。