7.4 期望值和方差
期望值
E
(
X
)
=
∑
s
∈
S
p
(
s
)
X
(
s
)
E(X)=\sum_{s \in S}p(s)X(s)
E
(
X
)
=
s
∈
S
∑
p
(
s
)
X
(
s
)
例如一个点数从1到6的骰子，其投掷一次的期望值是
E
(
X
)
=
1
⋅
1
6
+
2
⋅
1
6
+
3
⋅
1
6
+
4
⋅
1
6
+
5
⋅
1
6
+
6
⋅
1
6
E(X)=1 \cdot \frac{1}{6}+2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{6}+4 \cdot \frac{1}{6}+5 \cdot \frac{1}{6}+6 \cdot \frac{1}{6}
E
(
X
)
=
1
⋅
6
1
+
2
⋅
6
1
+
3
⋅
6
1
+
4
⋅
6
1
+
5
⋅
6
1
+
6
⋅
6
1
不用神话期望值，其本质就是对应的值乘以概率的和，所有的值要布满样本空间。
随机变量与期望值
随机变量这个词比较迷惑性，可能是英译中的时候搞出来的，所以这里可以将其理解为函数。
将原本的样本空间中的字集经过函数处理后所得到的值，比如掷两个骰子，两个骰子的和。原本的样本空间和其所对应的函数处理结果如下所示，函数使用X表示：
X((1,1))=2
X((1,2))=X((2,1))=3
X((1,3))=X((3,1))=X((2,2))=4
X((1,4))=X((4,1))=X((2,3))=X((3,2))=5
X((1,5))=X((5,1))=X((2,4))=X((4,2))=X((3,3))=6
X((1,6))=X((6,1))=X((2,5))=X((5,2))=X((3,4))=X((4,3))=7
X((2,6))=X((6,2))=X((3,5))=X((5,3))=X((4,4))=8
X((3,6))=X((6,3))=X((4,5))=X((5,4))=9
X((4,6))=X((6,4))=X((5,5))=10
X((5,6))=X((6,5))=11
X((6,6))=12
其中原本的样本空间
(1,1),(1,2),(2,1)
经过函数处理后，构成了X的样本空间
X(S)
。
(
r
,
p
(
X
=
r
)
)
，
代
表
r
∈
X
(
S
)
，
p
(
X
=
r
)
代
表
X
=
r
的
概
率
。
(r,p(X=r))，代表r \in X(S)，p(X=r)代表X=r的概率。
(
r
,
p
(
X
=
r
)
)
，
代
表
r
∈
X
(
S
)
，
p
(
X
=
r
)
代
表
X
=
r
的
概
率
。
在上面的基础上，问投出的值的概率各是多少？
p(X=2)=p(X=12)=1/36
p(X=3)=p(X=11)=2/36
p(X=4)=p(X=10)=3/36
p(X=5)=p(X=9)=4/36
p(X=6)=p(x=8)=5/36
p(X=7)=6/36
这里的
p(X=2)
代表上面两个骰子的和为2的情况，看到只有1种，
X((1,1))
，
p(X=12)
同理，
X((6,6))
。
随机变量其实本质就是在之前所有样本空间的基础上，使用函数，修改p(X=r)时，r的值。
投出的值的期望值的计算就按照期望值的定义走就行了：
E
(
X
)
=
2
⋅
1
36
+
3
⋅
2
36
+
4
⋅
3
36
+
5
⋅
4
36
+
6
⋅
5
36
+
7
⋅
6
36
+
12
⋅
1
36
+
11
⋅
2
36
+
10
⋅
3
36
+
9
⋅
4
36
+
8
⋅
5
36
=
7
E(X)=2 \cdot \frac{1}{36}+3 \cdot \frac{2}{36}+ 4 \cdot \frac{3}{36}+ 5 \cdot \frac{4}{36}+6 \cdot \frac{5}{36}+7 \cdot \frac{6}{36}\\ +12 \cdot \frac{1}{36}+11 \cdot \frac{2}{36}+ 10 \cdot \frac{3}{36}+ 9 \cdot \frac{4}{36}+8 \cdot \frac{5}{36} \\ =7
E
(
X
)
=
2
⋅
3
6
1
+
3
⋅
3
6
2
+
4
⋅
3
6
3
+
5
⋅
3
6
4
+
6
⋅
3
6
5
+
7
⋅
3
6
6
+
1
2
⋅
3
6
1
+
1
1
⋅
3
6
2
+
1
0
⋅
3
6
3
+
9
⋅
3
6
4
+
8
⋅
3
6
5
=
7
期望值的线性性质
在确定结果的情况下，可不可以试试单独计算两个骰子的期望值，然后相加呢？
E
(
X
1
)
=
1
⋅
1
6
+
2
⋅
1
6
+
3
⋅
1
6
+
4
⋅
1
6
+
5
⋅
1
6
+
6
⋅
1
6
=
7
2
E
(
X
2
)
=
1
⋅
1
6
+
2
⋅
1
6
+
3
⋅
1
6
+
4
⋅
1
6
+
5
⋅
1
6
+
6
⋅
1
6
=
7
2
E
(
X
1
)
+
E
(
X
2
)
=
7
2
+
7
2
=
7
E(X_1)=1 \cdot \frac{1}{6}+2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{6}+4 \cdot \frac{1}{6}+5 \cdot \frac{1}{6}+6 \cdot \frac{1}{6}=\frac{7}{2}\\ E(X_2)=1 \cdot \frac{1}{6}+2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{6}+4 \cdot \frac{1}{6}+5 \cdot \frac{1}{6}+6 \cdot \frac{1}{6}=\frac{7}{2}\\ E(X_1)+E(X_2)=\frac{7}{2}+\frac{7}{2}=7
E
(
X
1
)
=
1
⋅
6
1
+
2
⋅
6
1
+
3
⋅
6
1
+
4
⋅
6
1
+
5
⋅
6
1
+
6
⋅
6
1
=
2
7
E
(
X
2
)
=
1
⋅
6
1
+
2
⋅
6
1
+
3
⋅
6
1
+
4
⋅
6
1
+
5
⋅
6
1
+
6
⋅
6
1
=
2
7
E
(
X
1
)
+
E
(
X
2
)
=
2
7
+
2
7
=
7
结果竟然一致，书上是通过
数学归纳法
证明的，但是我在这里就写一下结论
如
果
X
i
是
S
上
的
随
机
变
量
，
n
是
正
整
数
，
并
且
a
,
b
∈
N
，
E
(
X
1
+
X
2
+
X
3
⋯
X
n
)
=
E
(
X
1
)
+
E
(
X
2
)
+
E
(
X
3
)
⋯
E
(
X
n
)
E
(
a
⋅
X
+
b
)
=
a
⋅
E
(
X
)
+
b
如果 X_i 是 S 上的随机变量，n是正整数，并且 a,b \in N，\\ E(X_1+X_2+X_3 \cdots X_n)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3) \cdots E(X_n)\\ E(a \cdot X+b)=a \cdot E(X)+b
如
果
X
i
是
S
上
的
随
机
变
量
，
n
是
正
整
数
，
并
且
a
,
b
∈
N
，
E
(
X
1
+
X
2
+
X
3
⋯
X
n
)
=
E
(
X
1
)
+
E
(
X
2
)
+
E
(
X
3
)
⋯
E
(
X
n
)
E
(
a
⋅
X
+
b
)
=
a
⋅
E
(
X
)
+
b
n次试验的伯努利试验的期望值是 np，其中p是每次试验的中“成功”的概率
在开始证明前，先证明一个推论：
C
(
n
,
k
)
⋅
k
=
n
C
(
n
−
1
,
k
−
1
)
证
明
：
C
(
n
,
k
)
⋅
k
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
⋅
k
=
n
⋅
(
n
−
1
!
)
(
(
n
−
1
)
−
(
k
−
1
)
)
!
(
k
−
1
)
!
k
⋅
k
=
n
(
n
−
1
)
!
(
(
n
−
1
)
−
(
k
−
1
)
)
!
(
k
−
1
)
!
=
n
C
(
n
−
1
,
k
−
1
)
C(n,k) \cdot k=nC(n-1,k-1)\\ 证明：\\ C(n,k) \cdot k=\frac{n!}{(n-k)!k!} \cdot k= \frac{n \cdot (n-1!)}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!k} \cdot k= n \frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}=n C(n-1,k-1)
C
(
n
,
k
)
⋅
k
=
n
C
(
n
−
1
,
k
−
1
)
证
明
：
C
(
n
,
k
)
⋅
k
=
(
n
−
k
)
!
k
!
n
!
⋅
k
=
(
(
n
−
1
)
−
(
k
−
1
)
)
!
(
k
−
1
)
!
k
n
⋅
(
n
−
1
!
)
⋅
k
=
n
(
(
n
−
1
)
−
(
k
−
1
)
)
!
(
k
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
=
n
C
(
n
−
1
,
k
−
1
)
证明：
E
(
X
)
=
∑
k
=
1
n
k
⋅
p
(
k
)
=
∑
k
=
1
n
k
⋅
C
(
n
,
k
)
p
k
q
(
n
−
k
)
=
∑
k
=
1
n
n
⋅
c
(
n
−
1
,
k
−
1
)
p
k
q
(
n
−
k
)
=
n
p
∑
k
=
1
n
c
(
n
−
1
,
k
−
1
)
p
k
−
1
q
n
−
k
令
j
=
k
−
1
=
n
p
∑
k
=
1
n
c
(
n
−
1
,
k
−
1
)
p
k
−
1
q
n
−
k
=
n
p
∑
j
=
0
n
−
1
c
(
n
−
1
,
j
)
p
j
q
n
−
(
j
+
1
)
=
n
p
∑
j
=
0
n
−
1
c
(
n
−
1
,
j
)
p
j
q
n
−
1
−
j
=
n
p
(
p
+
q
)
n
−
1
=
n
p
E(X)=\sum^{n}_{k=1}k \cdot p(k)\\ =\sum^{n}_{k=1} k \cdot C(n,k) p^k {q}^{(n-k)} \\ =\sum^{n}_{k=1} n \cdot c(n-1,k-1) p^k {q}^{(n-k)}\\ =np \sum^{n}_{k=1} c(n-1,k-1) {p}^{k-1} {q}^{n-k} \\ 令 j=k-1 \\ =np \sum^{n}_{k=1} c(n-1,k-1) {p}^{k-1} {q}^{n-k} \\ =np \sum^{n-1}_{j=0} c(n-1,j) {p}^{j} {q}^{n-(j+1)} \\ =np \sum^{n-1}_{j=0} c(n-1,j) {p}^{j} {q}^{n-1-j} \\ =np {(p+q)}^{n-1}=np
E
(
X
)
=
k
=
1
∑
n
k
⋅
p
(
k
)
=
k
=
1
∑
n
k
⋅
C
(
n
,
k
)
p
k
q
(
n
−
k
)
=
k
=
1
∑
n
n
⋅
c
(
n
−
1
,
k
−
1
)
p
k
q
(
n
−
k
)
=
n
p
k
=
1
∑
n
c
(
n
−
1
,
k
−
1
)
p
k
−
1
q
n
−
k
令
j
=
k
−
1
=
n
p
k
=
1
∑
n
c
(
n
−
1
,
k
−
1
)
p
k
−
1
q
n
−
k
=
n
p
j
=
0
∑
n
−
1
c
(
n
−
1
,
j
)
p
j
q
n
−
(
j
+
1
)
=
n
p
j
=
0
∑
n
−
1
c
(
n
−
1
,
j
)
p
j
q
n
−
1
−
j
=
n
p
(
p
+
q
)
n
−
1
=
n
p
其中倒数第二步是因为
二项式定理
在算法的角度看，
期望值其实就是平均算法复杂度
。但是我看了很久，没有弄懂，所以暂时不深究了。
几何分布
这个证明很鬼扯，但是结论却很简单，所以直接上结论：
如
果
对
于
k
=
1
,
2
,
3
,
4
⋯
n
,
p
(
X
=
k
)
=
(
1
−
p
)
(
k
−
1
)
⋅
p
，
那
么
随
机
变
量
X
具
有
带
参
数
p
的
几
何
分
布
。
如果对于k=1,2,3,4 \cdots n,p(X=k)={(1-p)}^{(k-1)} \cdot p，那么随机变量X具有带参数p的几何分布。
如
果
对
于
k
=
1
,
2
,
3
,
4
⋯
n
,
p
(
X
=
k
)
=
(
1
−
p
)
(
k
−
1
)
⋅
p
，
那
么
随
机
变
量
X
具
有
带
参
数
p
的
几
何
分
布
。
比如投掷骰子，问第n次出现6的概率是多少时：
p(X=1)=1/6
p(X=2)=5/6 * 1/6
p(X=3)=5/6 * 5/6 * 1/6
......
p(X=n)=(1-1/6)^(n-1) * 1/6
那么期望值就是：
E
(
X
)
=
∑
j
=
1
n
j
⋅
(
1
−
p
)
(
n
−
1
)
⋅
p
E(X)=\sum^{n}_{j=1} j \cdot {(1-p)}^{(n-1)} \cdot p
E
(
X
)
=
j
=
1
∑
n
j
⋅
(
1
−
p
)
(
n
−
1
)
⋅
p
当n趋近于无穷大时，上面的公式可以采用微积分的知识（我忘了）推导为：
E
(
X
)
=
1
p
E(X)=\frac{1}{p}
E
(
X
)
=
p
1
独立随机变量
随
机
变
量
X
和
Y
在
样
本
空
间
S
上
是
独
立
的
，
则
p
(
X
=
r
1
∩
Y
=
r
2
)
=
p
(
X
=
r
1
)
⋅
p
(
Y
=
r
2
)
随机变量X和Y在样本空间S上是独立的，则 \\ p(X=r_1 \cap Y=r_2)=p(X=r_1) \cdot p(Y=r_2)
随
机
变
量
X
和
Y
在
样
本
空
间
S
上
是
独
立
的
，
则
p
(
X
=
r
1
∩
Y
=
r
2
)
=
p
(
X
=
r
1
)
⋅
p
(
Y
=
r
2
)
这个很简单，抛开随机变量的定义，就是两个相互独立的事情，其一起发生的概率是各自发生概率的乘积。
在上面的基础上，再加上期望值的概念：
随
机
变
量
X
和
Y
在
样
本
空
间
S
上
是
独
立
的
，
则
E
(
X
Y
)
=
E
(
X
)
⋅
E
(
Y
)
随机变量X和Y在样本空间S上是独立的，则 \\ E(XY)=E(X)\cdot E(Y)
随
机
变
量
X
和
Y
在
样
本
空
间
S
上
是
独
立
的
，
则
E
(
X
Y
)
=
E
(
X
)
⋅
E
(
Y
)
这里书上的证明我感觉是有问题的，也可能是我脑子糊涂了，暂时先记下来，需要的时候再用吧。
方差
方
差
使
用
V
(
X
)
，
或
者
σ
(
X
)
表
示
：
V
(
X
)
=
∑
s
∈
S
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
方差使用 V(X)，或者 \sigma(X) 表示：\\ V(X)=\sum_{s \in S} (X(s)-E(X))^2 \cdot p(s)
方
差
使
用
V
(
X
)
，
或
者
σ
(
X
)
表
示
：
V
(
X
)
=
s
∈
S
∑
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
在下面说明方差的真实意义之前，先推导一个下面的公式：
V
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
E
(
X
)
2
V(X)=E(X^2)-E(X)^2
V
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
E
(
X
)
2
证明：
V
(
X
)
=
∑
s
∈
S
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
=
∑
s
∈
S
(
X
(
s
)
2
−
2
X
(
s
)
E
(
X
)
+
E
(
X
)
2
)
⋅
p
(
s
)
=
∑
s
∈
S
X
(
s
)
2
⋅
p
(
s
)
−
∑
s
∈
S
2
X
(
s
)
E
(
X
)
p
(
s
)
+
∑
s
∈
S
E
(
X
)
2
p
(
s
)
=
E
(
X
2
)
−
2
E
(
X
)
∑
s
∈
S
X
(
s
)
p
(
s
)
+
E
(
X
)
2
=
E
(
X
2
)
−
2
E
(
X
)
E
(
X
)
+
E
(
X
)
2
=
E
(
X
2
)
−
E
(
X
)
V(X)=\sum_{s \in S} (X(s)-E(X))^2 \cdot p(s)\\ =\sum_{s \in S} (X(s)^2 – 2X(s)E(X)+E(X)^2) \cdot p(s)\\ =\sum_{s \in S} X(s)^2 \cdot p(s)-\sum_{s \in S} 2X(s)E(X)p(s)+\sum_{s \in S} E(X)^2p(s)\\ =E(X^2)-2E(X) \sum_{s \in S} X(s)p(s)+E(X)^2\\ =E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2 =E(X^2)-E(X)
V
(
X
)
=
s
∈
S
∑
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
=
s
∈
S
∑
(
X
(
s
)
2
−
2
X
(
s
)
E
(
X
)
+
E
(
X
)
2
)
⋅
p
(
s
)
=
s
∈
S
∑
X
(
s
)
2
⋅
p
(
s
)
−
s
∈
S
∑
2
X
(
s
)
E
(
X
)
p
(
s
)
+
s
∈
S
∑
E
(
X
)
2
p
(
s
)
=
E
(
X
2
)
−
2
E
(
X
)
s
∈
S
∑
X
(
s
)
p
(
s
)
+
E
(
X
)
2
=
E
(
X
2
)
−
2
E
(
X
)
E
(
X
)
+
E
(
X
)
2
=
E
(
X
2
)
−
E
(
X
)
其中一些点的说明：
E
(
X
)
是
固
定
值
，
所
以
可
以
单
独
抽
离
出
来
。
并
且
∑
s
∈
S
p
(
s
)
=
1
。
E(X)是固定值，所以可以单独抽离出来。\\ 并且 \sum_{s \in S}p(s)=1。\\
E
(
X
)
是
固
定
值
，
所
以
可
以
单
独
抽
离
出
来
。
并
且
s
∈
S
∑
p
(
s
)
=
1
。
再来证明下面的值：
如
果
E
(
X
)
=
μ
，
则
V
(
X
)
=
E
(
(
X
−
μ
)
2
)
如果 E(X)=\mu，则 V(X)=E((X-\mu)^2)
如
果
E
(
X
)
=
μ
，
则
V
(
X
)
=
E
(
(
X
−
μ
)
2
)
证明：
E
(
(
X
−
μ
)
2
)
=
E
(
X
2
−
2
X
μ
+
μ
2
)
=
E
(
X
2
)
−
E
(
2
X
μ
)
+
E
(
μ
2
)
=
E
(
X
2
)
−
2
μ
E
(
X
)
+
μ
2
=
E
(
X
2
)
−
2
μ
⋅
μ
+
μ
⋅
μ
=
E
(
X
2
)
−
μ
2
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
V
(
X
)
E((X-\mu)^2)=E(X^2-2X \mu+{\mu}^{2})\\ =E(X^2)-E(2X\mu)+E({\mu}^{2})\\ =E(X^2)-2\mu E(X)+{\mu}^{2}\\ =E(X^2)-2\mu \cdot \mu+ \mu \cdot \mu\\ =E(X^2)-{\mu}^2\\ =E(X^2)-(E(X))^2 =V(X)
E
(
(
X
−
μ
)
2
)
=
E
(
X
2
−
2
X
μ
+
μ
2
)
=
E
(
X
2
)
−
E
(
2
X
μ
)
+
E
(
μ
2
)
=
E
(
X
2
)
−
2
μ
E
(
X
)
+
μ
2
=
E
(
X
2
)
−
2
μ
⋅
μ
+
μ
⋅
μ
=
E
(
X
2
)
−
μ
2
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
V
(
X
)
比安梅公式
对
于
在
样
本
空
间
中
互
相
独
立
的
随
机
变
量
X
1
,
X
2
,
X
3
⋯
X
n
，
V
(
X
1
+
X
2
+
X
3
⋯
X
n
)
=
V
(
X
1
)
+
V
(
X
2
)
+
V
(
X
3
)
⋯
V
(
X
n
)
对于在样本空间中互相独立的随机变量 X_1,X_2,X_3 \cdots X_n，\\ V(X_1+X_2+X_3 \cdots X_n)=V(X_1)+V(X_2)+V(X_3) \cdots V(X_n)
对
于
在
样
本
空
间
中
互
相
独
立
的
随
机
变
量
X
1
,
X
2
,
X
3
⋯
X
n
，
V
(
X
1
+
X
2
+
X
3
⋯
X
n
)
=
V
(
X
1
)
+
V
(
X
2
)
+
V
(
X
3
)
⋯
V
(
X
n
)
证明：
V
(
X
+
Y
)
=
E
(
(
X
+
Y
)
2
)
−
(
E
(
X
+
Y
)
)
2
=
E
(
X
2
+
2
X
Y
+
Y
2
)
−
(
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
)
2
=
E
(
X
2
)
+
2
E
(
X
Y
)
+
E
(
Y
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
−
2
E
(
X
)
E
(
Y
)
−
(
E
(
Y
)
)
2
=
E
(
X
2
)
+
2
E
(
X
)
E
(
Y
)
+
E
(
Y
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
−
2
E
(
X
)
E
(
Y
)
−
(
E
(
Y
)
)
2
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
+
E
(
Y
2
)
−
(
E
(
Y
)
)
2
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
V(X+Y)=E((X+Y)^2)-(E(X+Y))^2=E(X^2+2XY+Y^2)-(E(X)+E(Y))^2\\ =E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-(E(X))^2-2E(X)E(Y)-(E(Y))^2\\ =E(X^2)+2E(X)E(Y)+E(Y^2)-(E(X))^2-2E(X)E(Y)-(E(Y))^2\\ =E(X^2)-(E(X))^2+E(Y^2)-(E(Y))^2\\ =V(X)+V(Y)
V
(
X
+
Y
)
=
E
(
(
X
+
Y
)
2
)
−
(
E
(
X
+
Y
)
)
2
=
E
(
X
2
+
2
X
Y
+
Y
2
)
−
(
E
(
X
)
+
E
(
Y
)
)
2
=
E
(
X
2
)
+
2
E
(
X
Y
)
+
E
(
Y
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
−
2
E
(
X
)
E
(
Y
)
−
(
E
(
Y
)
)
2
=
E
(
X
2
)
+
2
E
(
X
)
E
(
Y
)
+
E
(
Y
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
−
2
E
(
X
)
E
(
Y
)
−
(
E
(
Y
)
)
2
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
+
E
(
Y
2
)
−
(
E
(
Y
)
)
2
=
V
(
X
)
+
V
(
Y
)
更多的参数只需要在上面的基础之上进行证明下去。
切比雪夫不等式
r
∈
N
+
，
那
么
p
(
∣
X
(
s
)
−
E
(
X
)
∣
>
=
r
)
<
=
V
(
X
)
r
2
r \in N^+，那么 \\ p(|X(s)-E(X)|>=r) <= \frac{V(X)}{r^2}
r
∈
N
+
，
那
么
p
(
∣
X
(
s
)
−
E
(
X
)
∣
>
=
r
)
<
=
r
2
V
(
X
)
上面的定义啥意思呢？简单来说就是对于样本空间中的值，其值与期望值差的绝对值大于r的概率，小于方差除以r的平方。
证明：
设
事
件
A
=
{
s
∈
S
∣
∣
X
(
s
)
−
E
(
X
)
∣
>
=
r
}
V
(
X
)
=
∑
s
∈
S
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
=
∑
s
∈
A
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
+
∑
s
∉
A
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
首
先
看
∑
s
∈
A
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
的
部
分
，
因
为
是
集
合
A
的
元
素
，
所
以
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
>
r
，
所
以
∑
s
∈
A
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
>
∑
s
∈
A
r
2
p
(
s
)
。
∑
s
∉
A
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
肯
定
大
于
0
，
所
以
V
(
X
)
>
=
∑
s
∈
A
r
2
p
(
s
)
，
即
p
(
A
)
<
=
V
(
X
)
r
2
设事件 A = \{s\in S | |X(s)-E(X)|>=r\}\\ V(X)=\sum_{s \in S}(X(s)-E(X))^2 \cdot p(s)\\ =\sum_{s \in A}(X(s)-E(X))^2 \cdot p(s)+\sum_{s \notin A}(X(s)-E(X))^2 \cdot p(s)\\ 首先看 \sum_{s \in A}(X(s)-E(X))^2 \cdot p(s) 的部分，因为是集合A的元素，所以 (X(s)-E(X))>r，所以 \sum_{s \in A}(X(s)-E(X))^2 \cdot p(s) > \sum_{s \in A} r^2 p(s)。\\ \sum_{s \notin A}(X(s)-E(X))^2 \cdot p(s) 肯定大于0，所以\\ V(X)>=\sum_{s \in A} r^2 p(s)，即\\ p(A)<=\frac{V(X)}{r^2}
设
事
件
A
=
{
s
∈
S
∣
∣
X
(
s
)
−
E
(
X
)
∣
>
=
r
}
V
(
X
)
=
s
∈
S
∑
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
=
s
∈
A
∑
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
+
s
∈
/
A
∑
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
首
先
看
s
∈
A
∑
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
的
部
分
，
因
为
是
集
合
A
的
元
素
，
所
以
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
>
r
，
所
以
s
∈
A
∑
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
>
s
∈
A
∑
r
2
p
(
s
)
。
s
∈
/
A
∑
(
X
(
s
)
−
E
(
X
)
)
2
⋅
p
(
s
)
肯
定
大
于
0
，
所
以
V
(
X
)
>
=
s
∈
A
∑
r
2
p
(
s
)
，
即
p
(
A
)
<
=
r
2
V
(
X
)