题目
在已知水准点A、B（其高程无误差）间布设水准路线，如图3-5所示。路线长为
S
1
=
2
S_1=2
S
1
=
2
km，
S
2
=
6
S_2=6
S
2
=
6
km，
S
3
=
4
S_3=4
S
3
=
4
km，设每千米观测高差中误差
σ
=
1.0
\sigma=1.0
σ
=
1
.
0
mm，试求：
(1)将闭合差按距离分配之后
P
1
P_1
P
1
、
P
2
P_2
P
2
两点间高差的中误差；
(2)分配闭合差后
P
1
P_1
P
1
点高程的中误差。
解：(1)由误差传播定律易知，路段1、2、3的测量中误差分别为
2
\sqrt2
2
mm、
6
\sqrt6
6
mm、
4
\sqrt4
4
mm。（以第一段为例：
σ
1
=
σ
2
+
σ
2
=
2
\sigma_1=\sqrt{\sigma^2+\sigma^2}=\sqrt2
σ
1
=
σ
2
+
σ
2
=
2
mm）
又
H
B
=
H
A
+
H
1
+
H
2
+
H
3
H_B=H_A+H_1+H_2+H_3
H
B
=
H
A
+
H
1
+
H
2
+
H
3
得
H
B
H_B
H
B
的测量误差
σ
B
=
σ
1
2
+
σ
2
2
+
σ
3
2
=
2
3
m
m
\sigma_B=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2}=2\sqrt3mm
σ
B
=
σ
1
2
+
σ
2
2
+
σ
3
2
=
2
3
m
m
由水准等精度观测知，误差应以路线长度为权重，按比例分配，分别为2、6、4。
则
σ
‾
2
=
6
12
σ
B
=
3
m
m
\overline{\sigma}_2=\frac{6}{12}\sigma_B=\sqrt3mm
σ
2
=
1
2
6
σ
B
=
3
m
m
(2)有了第(1)问的误差分配并修正之后，得到修正值
σ
‾
1
=
2
12
σ
B
=
3
3
\overline{\sigma}_1=\frac{2}{12}\sigma_B=\frac{\sqrt3}{3}
σ
1
=
1
2
2
σ
B
=
3
3
mm，
σ
‾
3
=
4
12
σ
B
=
2
3
3
\overline{\sigma}_3=\frac{4}{12}\sigma_B=\frac{2\sqrt3}{3}
σ
3
=
1
2
4
σ
B
=
3
2
3
mm。由式
H
P
1
=
H
A
+
H
‾
1
H_{P_1}=H_A+\overline{H}_1
H
P
1
=
H
A
+
H
1
可计算
P
1
P_1
P
1
的高程，再误差传播定律得到
P
1
P_1
P
1
点高程的中误差
3
3
\frac{\sqrt3}{3}
3
3
mm。
同理使用式
H
P
1
=
H
B
−
H
‾
2
−
H
‾
3
H_{P_1}=H_B-\overline{H}_2-\overline{H}_3
H
P
1
=
H
B
−
H
2
−
H
3
也会得到一个结果。但是经过计算发现，两个结果不同。答案是错误的。
思考
为了找到原因，我们从另一个角度重新看第(1)问。
要计算
σ
‾
2
\overline{\sigma}_2
σ
2
，可以认为我们对
H
2
H_2
H
2
进行了两次观测，分别是直接观测
H
2
H_2
H
2
，和间接测量
H
2
=
H
B
−
H
A
−
H
1
−
H
3
H_2=H_B-H_A-H_1-H_3
H
2
=
H
B
−
H
A
−
H
1
−
H
3
，这也符合存在一次多余观测的事实。
那么两次测量值，怎样取最终结果？当然要先根据它们的测量误差分配权重。
由误差传播定律易知，两次测量结果的中误差分别为
6
\sqrt6
6
mm和
σ
1
2
+
σ
3
2
=
6
\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_3^2}=\sqrt6
σ
1
2
+
σ
3
2
=
6
mm，误差相同，权重相同，即：
H
‾
2
=
1
2
H
2
+
1
2
(
H
B
−
H
A
−
H
1
−
H
3
)
\overline{H}_2=\frac{1}{2}H_2+\frac{1}{2}\left(H_B-H_A-H_1-H_3\right)
H
2
=
2
1
H
2
+
2
1
(
H
B
−
H
A
−
H
1
−
H
3
)
则
σ
‾
2
=
1
4
σ
2
2
+
1
4
σ
1
2
+
1
4
σ
3
2
=
3
m
m
\overline{\sigma}_2=\sqrt{\frac{1}{4}\sigma_2^2+\frac{1}{4}\sigma_1^2+\frac{1}{4}\sigma_3^2}=\sqrt3mm
σ
2
=
4
1
σ
2
2
+
4
1
σ
1
2
+
4
1
σ
3
2
=
3
m
m
同理，对于
H
‾
1
\overline{H}_1
H
1
可得：
H
‾
1
=
5
6
H
1
+
1
6
(
H
B
−
H
A
−
H
2
−
H
3
)
\overline{H}_1=\frac{5}{6}H_1+\frac{1}{6}\left(H_B-H_A-H_2-H_3\right)
H
1
=
6
5
H
1
+
6
1
(
H
B
−
H
A
−
H
2
−
H
3
)
（当两次测量误差不同时，单位权取值参考结论
https://blog.csdn.net/runtuandme/article/details/111866037#comments_14909815
）
此时计算
σ
‾
1
=
5
3
\overline{\sigma}_1=\sqrt{\frac{5}{3}}
σ
1
=
3
5
mm。再由误差传播定律可得到
σ
P
1
=
σ
‾
1
2
=
5
3
\sigma_{P_1}=\sqrt{\overline{\sigma}_1^2}=\sqrt{\frac{5}{3}}
σ
P
1
=
σ
1
2
=
3
5
mm
这个答案是正确的。
对于第二问，我们也可以看作对
H
P
1
H_{P_1}
H
P
1
的两次测量，
H
P
1
=
H
A
+
H
1
H_{P_1}=H_A+H_1
H
P
1
=
H
A
+
H
1
H
P
1
=
H
B
−
H
2
−
H
3
H_{P_1}=H_B-H_2-H_3
H
P
1
=
H
B
−
H
2
−
H
3
再分别计算中误差，计算权，同样得到
5
3
\sqrt{\frac{5}{3}}
3
5
mm的结果。
小结
第(1)问的计算方法是错误的，答案正确属于巧合。按权重“分配误差改正值”可行，但不可按权重“分配误差精度”，精度不与权重成比例，应该按照误差传播定律严格计算。