一、简介及打开方式
cftool工具箱可以将数据点拟合成曲线或曲面并直观显示出图像。能实现多种类型的线性、非线性曲线/面拟合。
有两种方式打开cftool：(1)在命令行窗口输入”cftool”并回车；(2)在MATLAB的”APP”选项栏中找到”Curve Fitting”程序打开即可。
二、使用方法
1、数据导入
界面左上部分为数据区域，下拉框中会自动识别MATLAB工作区中的数组，选中需要拟合的X和Y数据即可，若选择X、Y、Z三组数据则可以拟合三维曲面。此外，还可以自定义不同数据的权值，同样将数据在Weights中选中即可。
2、拟合方法
界面上方可以选择不同的拟合方法，二维图像的拟合方法有：
(1)
Custom Equations
：自定义函数拟合。
(2)
Exponential
：指数函数拟合，默认形式：f(x) = a*exp(b*x)，在”Number of terms”中可以选择指数项的个数，范围1~2。
(3)
Fourier
：傅里叶级数逼近，默认形式：f(x) = a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)，在”Number of terms”中可以选择公式中正余弦项的个数，范围1~8。
(4)
Gaussian
：高斯逼近，默认形式：f(x) = a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)，在”Number of terms”中可以选择公式中指数项的个数，范围1~8。
(5)
Interpolant
：插值。有以下4种类型：
Nearest neighbor
（最近邻）、
Linear
（线性插值）、
Cubic spline
（三次样条插值）、
Shape-preserving(PCHIP)
（分段三次Hermite插值）。
其中，样条插值仅需要被插值函数在插值节点处的函数值，不需要知道被插值函数在插值节点处的导数值，数据要求低，光滑性好，可以达到二阶导数连续，但数据变化过大时曲线可能出现波动。Hermite插值是分段三次多项式插值，需要同时知道被插值函数在插值节点处的函数值和导数值，数据要求高，可以达到一阶导数连续，光滑性不如样条插值的好，但其具有保形性，不会出现局部波动。以下这个例子可以很明显的看出二者区别：
三次样条插值
分段三次Hermite插值
(6)
Linear Fitting
：线性组合拟合。默认形式：f(x) = a*(sin(x-pi)) + b*((x-10)^2) + c。本质是将各种不同类型的函数进行线性组合。在”Edit”中可以自定义各线性项的权重和形式。
(7)
Polynomial
：多项式函数拟合。默认形式：f(x) = p1*x + p2，即最常见的线性最小二乘拟合。在”Degree”中可以选择多项式的最高次数，范围1~9。
(8)
Power
：幂函数拟合。默认形式：f(x) = a*x^b。在”Number of terms”中可以选择是否加常数项，若选择2，则公式变为：f(x) = a*x^b+c。
(9)
Rational
：有理数逼近。默认形式：f(x) = (p1) / (x + q1)。公式的分子和分母均为多项式，在”Numerator degree”中可以选择分子多项式最高次数，范围0~5。在”Denomenator degree”中可以选择分母多项式最高次数，范围1~5，且x最高次项的系数只能为1。
(10)
Smoothing Spline
：平滑样条。这种方法的具体原理较为复杂，MATLAB定义了一个代价函数RSS来衡量拟合误差，拟合时会使此RSS值尽可能小。函数形式如下。前半部分用来衡量拟合曲线与原数据的近似程度，后半部分用来衡量曲线的光滑程度。
应用时，权重wi若没有给定则默认均为1，平滑系数p的取值为 [0,1]。总的来说，p值越小，拟合曲线越平滑，但与原数据误差越大；p值越大，曲线越倾向于经过所有数据点，但局部可能会出现波动。
(11)
Sum of Sin
：正弦逼近。默认形式：f(x) = a1*sin(b1*x+c1)。其通过一串正弦函数来逼近数据点，在”Number of terms”中可以选择正弦函数的个数，范围1~8。
(12)
Weibull
：威布尔分布，形式为：f(x) = a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)。统计学中常用于元件寿命估计。
三、拟合效果评价
窗口左侧的”Results”部分显示函数模型、参数的拟合值以及部分评价参数，主要有：
(1)
SSE
：拟合误差平方和，接近0，表示与数据拟合好，但是要小心过拟合（过于贴合数据点而使曲线波动较大）；
(2)
R-square
：数据点与拟合值之间的相关系数平方值，趋近于1说明约相关，拟合效果好；
(3)
RMSE
：均方差（标准差）。同样此值越小，说明拟合效果越好。
四、注意事项
(1) 工具箱上方有按钮可以调节图例、网格、坐标轴范围：
(2) 对于同一组数据，参数范围不同，其拟合结果也可能差距很大。如果拟合效果不好，可以在”Fit Options”中调整参数的初始值、上下限，往往会在一定程度上改善结果。所以，设置好待拟合函数的参数的StartPoint，Lower和Upper三者的值可以使拟合更加准确。
如，用自定义函数y=k/(1+exp(a+b*x))来拟合一组数据，如果采用程序默认的k初始值0.5502，拟合结果为：
如果将k的初始值改为800，则拟合结果变为：
可以看到，拟合结果有明显变化。