波动方程
真空中的Maxwell方程
∇
⋅
E
=
0
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
∇
⋅
B
=
0
∇
×
B
=
ε
0
μ
0
∂
E
∂
t
∇
×
(2)，代入(4)，并用到
∇
×
(
∇
×
A
)
=
∇
(
∇
⋅
A
)
−
∇
2
A
得
∇
2
E
−
ε
0
μ
0
∂
2
E
∂
t
2
=
0
对
B
得到同样的波动方程
∇
2
B
−
ε
0
μ
0
∂
2
B
∂
t
2
=
0
方程的解
方程的特解
E
=
E
0
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
解的性质
-
等相面
，同一时刻相位相等的面。
k
⋅
r
−
ω
t
=
c
o
n
s
t
.
-
波长
，同一时刻，相位相差
2
π
的面之间的距离。
λ
=
2
π
k
-
周期
T
，同一位置，相位改变
2
π
经过的时间
T
=
2
π
ω
-
相速度
，等相面的运动速度
由
k
⋅
r
−
ω
t
=
c
o
n
s
t
.
得
v
=
d
r
0
d
t
=
ω
k
-
真空中的波速
将特解代入波动方程，得
ω
和
k
的关系
k
2
=
ε
0
μ
0
ω
2
代入相速度方程，得
c
=
ω
k
=
1
ε
0
μ
0
−
−
−
−
√
-
正交性
将特解代入
∇
⋅
E
=
0
，得
k
⋅
E
0
=
0
因为
ω
和
k
的关系以及上式，所以完全描述电磁波需要
E
0
,
k
,
ω
共
4
+
2
+
1
=
7
个独立实参量.
磁场的解
根据
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
得
∂
B
∂
t
=
−
∇
×
E
=
i
k
×
E
对两边积分，得到
B
=
k
ω
E
=
1
c
e
k
×
E
+
B
1
(
c
o
n
s
t
.
)
设
B
=
B
0
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
则
B
0
=
1
c
e
k
×
E
0
考虑到真实物理量是实部，所以可以重新写作
R
B
=
1
c
e
k
×
R
E
强度
R
B
=
1
c
R
E
偏振的描述
偏振是横波的振动矢量对于传播方向不对称的现象。
将电磁波的传播方向取为
z
方向，电磁波的方程可以写作
E
=
E
0
e
i
(
k
z
−
ω
t
)
B
=
B
0
e
i
(
k
z
−
ω
t
)
由于电波和磁波之间存在关系
B
0
=
1
c
e
k
×
E
0
所以只需要讨论电波就可以了。
从迎着电磁波传播方向的方向来看，电矢量的变化可以用
x
y
平面上的矢端曲线来表示。为了讨论物理的电场强度，把电场的实部表示出来。由于
E
是一个复矢量，可以表示成
E
0
=
(
E
0
x
e
i
α
x
)
e
x
+
(
E
0
y
e
i
α
y
)
e
y
所以
E
=
(
E
0
x
e
i
(
k
z
−
ω
t
+
α
x
)
)
e
x
+
(
E
0
y
e
i
(
k
z
−
ω
t
+
α
y
)
)
e
y
实部为
R
E
0
x
=
E
0
x
cos
(
k
z
−
ω
t
+
α
x
)
R
E
0
y
=
E
0
y
cos
(
k
z
−
ω
t
+
α
y
)
这说明一般的电磁波矢端曲线是一个椭圆，椭圆可以分解成更简单的形状。下面介绍两种分解方式。
线偏振
当
α
x
=
α
y
或
α
x
=
α
y
+
π
的时候，
R
E
0
x
R
E
0
y
=
±
E
0
x
E
0
y
这时
(
x
,
y
)
在一条线段上做简谐振动。这种情形称之为
线偏振
。一般的椭圆振动可以分解成两个线偏振的叠加。
定义一组基
ε
1
=
e
x
e
i
(
k
z
−
ω
t
)
ε
2
=
e
y
e
i
(
k
z
−
ω
t
)
这是在
x
和
y
方向的两个线偏振。
对任意的
E
，存在
E
1
,
E
2
E
1
=
E
0
x
e
i
α
x
,
E
2
=
E
0
y
e
i
α
y
使得
E
=
E
1
ε
1
+
E
2
ε
2
圆偏振
当
α
x
=
α
y
±
π
2
且
E
0
x
=
E
0
y
的时候，
R
E
0
x
=
E
0
x
cos
(
k
z
−
ω
t
+
α
x
)
R
E
0
y
=
±
E
0
y
sin
(
k
z
−
ω
t
+
α
x
)
这时
(
x
,
y
)
在一个圆上做简谐振动。这种情形称之为
圆偏振
。并且当
α
y
=
α
x
−
π
2
时，迎着传播方向，圆顺时针旋转，称为
右旋波
；当
α
y
=
α
x
+
π
2
时，迎着传播方向，圆顺时针旋转，称为
左旋波
。一般的椭圆振动可以分解成两个左右旋圆偏振的叠加。
定义一组基
ε
1
=
e
1
e
i
(
k
z
−
ω
t
)
ε
2
=
e
2
e
i
(
k
z
−
ω
t
)
其中
e
1
=
1
2
√
(
e
x
−
i
e
y
)
e
2
=
1
2
√
(
e
x
+
i
e
y
)
这是右旋和左旋两个圆偏振。
对任意的
E
，存在
E
左
,
E
右
使得
E
=
E
左
ε
1
+
E
右
ε
2
E
左
,
E
右
满足
E
1
=
1
2
√
(
E
左
+
E
右
)
,
E
2
=
i
2
√
(
E
左
−
E
右
)
平面电磁波的能量和能流
电磁场的能量密度
w
=
1
2
(
ε
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
能流密度
S
=
1
μ
0
E
×
B
能量密度和能流密度都和场量的二次项有关，在涉及二次运算时，为得到物理上所要的结果，应当先取实部再进行计算。所以
w
=
1
2
(
ε
0
|
R
E
|
2
+
1
μ
0
|
R
B
|
2
)
S
=
1
μ
0
R
E
×
R
B
因为
R
B
=
1
c
e
k
×
R
E
代入能量密度方程
|
R
B
|
2
=
1
c
2
|
R
E
|
2
=
μ
0
ε
0
|
R
E
|
2
因此电波和磁波对能量密度的贡献是相等的.
w
=
ε
0
|
R
E
|
2
代入能流密度方程
S
=
1
μ
0
R
E
×
R
B
=
1
μ
0
c
R
E
×
(
e
k
×
R
E
)
=
1
μ
0
c
(
R
E
⋅
R
E
)
e
k
所以有
S
=
ω
c
e
k
这个式子说明真空中的电磁波的能流密度就是能量密度以光速
c
向波矢
k
方向移动。
对空间中的每一点，
|
R
E
|
2
=
E
2
0
x
cos
2
(
k
z
−
ω
t
+
α
x
)
+
E
2
0
y
cos
2
(
k
z
−
ω
t
+
α
y
)
是随时间变化的。实际电磁波的振动周期很短，因此可以用平均值代表实测值。所以能量密度可以表示为
w
=
1
2
E
0
⋅
E
∗
0
本文参考俞允强《电动力学简明教程》