范数（norm）

不说那么多理论了，弄蒙咋整，直接说常见范数及其用途。

一、向量范数

1.1、 0-范数

严格说不属于范数，向量中非零元素的个数。

1.2、 1-范数

$||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|$

即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。

1.3、 2-范数

$||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}$

Euclid

范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。

1.4、 p-范数

$||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$

即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。

1.5、 ∞-范数

$||\textbf{x}||_\infty = \max_{i}|x_i|$

即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。

1.6、 -∞-范数

$||\textbf{x}||_{-\infty}=\min_i|x_i|$

即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。

二、矩阵范数

2.1、 1-范数

$||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}|$

列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。

2.2、 2-范数

对于实矩阵

A

，它的谱范数定义为：

其中，

eig(X)

为计算方阵

X

特征值，它返回特征值向量：

谱范数，即

A’A

矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。

2.3、 ∞-范数

$||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}|$

行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。

2.4、F-范数

$||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}}$

Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。

2.5、核范数

是

A

的奇异值。核范数即奇异值之和。