在上一篇博客中，自己介绍了Levenberg_Marquardt的算法流程，特点以及在非线性最小二乘问题上的应用，信赖域算法也是自己曾经研究过的算法，并且在姿态估计上进行了应用，比较下来，得到的精度和Levenberg_Marquardt算法不相上下，但是收敛速度却不如LM。本文介绍一下自己对信赖域算法的理解，与童鞋们分享一下。
相信做过机器学习的童鞋，一定使用过搜索算法，例如梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法，BFGS算法，LM算法等，这些算法有一个共同的特点，它们的基本策略，也就是所谓的算法思想，都是“定方向，定步长”，不知道我这么概括准确不准确，比如说经典到骨子里的梯度下降，先选择梯度相反方向作为搜索方向，然后要么一维搜索，要么索性定个步长公式，沿着既定方向根据步长确定变量更新值，无一例外。
然而，半路杀出了个程咬金，信赖域算法却不是这样干的，人家采用的方法是“定区域，定极值”的方法，来达到同样的目的。
牛逼吧？我替你回答， 是的。这个毁三观的行为，造就了有趣的信赖域算法。
信赖域算法是在一个球形区域内进行搜索，具体说来，先定好一个球形区域，然后在这个球形区域的中心点进行二阶泰勒近似（和LM是不是很像？LM是一阶泰勒近似），如公式（1）所示，这个近似美其名曰“子问题”，由于二阶泰勒近似其实就是一个二次规划问题，可以直接求取极值，得到了子问题的最优解之后，下一步就要考察这个最优解（也就是参数变化量d）是否能够使得“原问题”不断的下降，这里，引入了一个比较巧妙的度量方式，用于度量函数值实际下降量和预测下降量之间的比值，如公式（2）所示，如果这个比值大于一定的数值，说明参数变化量d是正确的，进一步，调整球形的半径r，否则，就要摒弃这个d，减小半径r，重新搜索。精髓一句话，每一步迭代都会转化为子问题来处理，不断地更新参数，最终得到收敛解。
（1）
（2）
正如上一篇博客一样，担心大家听不懂我在说什么，我还是画个算法流程图，如下所示：
同样也附上算法代码，这里我还是用信赖域算法，去解决任何一个非线性最小二乘问题，输入变量的含义均已进行注释。
下一篇博客，我会比较LM与信赖域算法之间对于同一问题的处理速度和算法精度，我觉得这两个算法有必要好好的比较一下。
如果有bug或error，还请多多指教啊！小弟嗷嗷感激！！
%% 信赖域算法
function[x, iter] = Trust_Region(f, var, x0, r0, miu, yita, eps)
% 目标函数: f
% 自变量向量： var
% 初始点： x0
% 初始信赖域半径： r0
% 初始参数： miu
% 初始参数： yita
% 精度： eps
% 目标函数取最小值的自变量值： x
% 迭代次数： iter
tol = 1;
r = r0;
x = x0;
% 迭代次数
iter = 1;
while tol > eps
jacf = jacobian(f, var); % 雅可比矩阵
hessen = jacobian(jacf, var); % 赫森矩阵
% 计算目标函数值
fx = double(subs(f, var, x));
% 计算雅克比矩阵值
v = subs(jacf, var, x);
% 计算赫森矩阵值
pv = subs(hessen, var, x);
tol = double(norm(v));
M_2 = double(pv); % 二次规划 中的二次项矩阵
M_1 = double(transpose(v)); % 二次规划 中的一次项矩阵
lb = -r * ones(length(var), 1); % r为信赖域半径，自变量下界约束
ub = r * ones(length(var), 1); % 自变量上界约束
% 求解二次规划
[y, fy, EXITFLAG] = quadprog(M_2, M_1, [], [], [], [], lb, ub);
% 重新计算目标函数值
fx_n = double(subs(f, var, x + y));
% 计算目标函数实际下降与预测下降之比
p = (fx - fx_n) / (-fy);
if p <= miu % 目标函数实际下降不明显
r = 0.5 * r;
else % 目标函数值下降明显
x = x + y; % 更新参数, 扩大信赖域半径
if p >= yita % 如果 p > yita
r = 2 * r;
end
end
iter = iter + 1;
end
end
感慨一下，matlab具有强大的符号计算能力，实在是太方便了，总有人说matlab不能算是编程语言，我是超级不同意的，matlab是一门强大的编程语言好不好。尤其是在算法方面。