首先要说的是数列的收敛是有界充分不必要条件
也就是说收敛一定有界，有界不一定收敛（这句话很好理解，在区域内离散分布）
下面来考虑数列收敛则一定有界的问题：
首先理清回顾这两个概念
1）：数列有界：同时具有上下界的数列成为有界数列
由此引出
单调有界定理
：单调有界数列一定收敛（对于单调数列的有界和收敛是充要条件）
2）：数列收敛：
数列的柯西收敛准则
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N,m>N时有
我们把满足该条件的{xn}称为
柯西序列
，那么上述定理可表述成：数列{xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
该准则的几何意义表示，数列{xn}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。
那么对于不单调的函数通过柯西收敛准则可以知道数列值在一个区间内向着极限值周围趋近分布，显然这个区间是有上确界和下确界的，所以无论数列是否单调，收敛则一定有界
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