一
、关系的运算
笛卡尔积/直积A
×B
={(a , b) | a∈A且b∈B}
，对于∩和∪都满足分配性。
A×B
=B
×
A
⟺
(A=
∅
)
∨
(B=
∅
)
∨
(A=B)
R
⊆
A
×B，当
(a , b)∈R时称a与b具有关系R
，即x
Ry
。
A=B时R就是A上的一个二元关系
。
例如集合幂集P(A)上的包含关系为P
⊆
={(x , y) | x∈P(A)
∧
y∈P(A)
∧
x
⊆
y
}
A上的恒等关系I
A
={(a , a) | a∈A}
，
(a , b)∈I
A
当且仅当a=b
A上的
全域
关系E
A
={(a , b) | a , b∈A}
，
(a , b)∈E
A
恒成立
注意
：关系是集合！对集合成立的运算对关系都成立，例如＜∩＞
=
∅
，≤∩≥
==
R的定义域
（domain）为R中所有有序对第一元素构成的集合；值域（range）为所有有序对第二元素构成的集合
Dom
(R
-1
)=Ran(R)
，Dom
(R)=Ran(R
-1
)
x的像集（image）
为R(x)={y∈B | xRy}
，子集A
1
的像集R(
A
1
)={y∈B | xRy对某x∈
A
1
成立}
，
R(
∅
)=
∅
若R
、S是A到B的二元关系，对任意a
∈A都有
像集
R(a)=S(a)
，那么R
=S