代数重数与几何重数（对于单个特征值而言）
代数重数：相同特征值的个数。
几何重数：特征子空间的维数为几何重数，因为空间是几何里的概念，
r
a
n
k
(
λ
I
−
A
)
=
n
−
α
rank(λI-A)=n-α
r
a
n
k
(
λ
I
−
A
)
=
n
−
α
中的
α
α
α
值，几何重数 ≤ 代数重数。
在几何重数 = 代数重数时，A可以变换为对角阵，但两者不相同时，A只可以变换为约当阵，这里就需要使用广义特征向量。
广义特征向量计算
r
a
n
k
(
λ
I
−
A
)
=
n
−
α
rank(λI-A)=n-α
r
a
n
k
(
λ
I
−
A
)
=
n
−
α
，代数重数为
k
k
k
，则对于
λ
λ
λ
这个特征值有
α
α
α
个线性不相关的向量，就有
α
α
α
个约当小块，通过这
α
α
α
个向量来构建其余的
k
−
α
k-α
k
−
α
个向量，设为
X
1
、
X
2
、
.
.
.
、
X
α
X_{1}、X_{2}、…、X_{α}
X
1
、
X
2
、
.
.
.
、
X
α
。将需要构建的
k
−
α
k-α
k
−
α
个向量分成
α
α
α
组，每组基于一个
X
i
X_{i}
X
i
构建。
例如
r
a
n
k
(
λ
I
−
A
)
=
10
−
2
rank(λI-A)=10-2
r
a
n
k
(
λ
I
−
A
)
=
1
0
−
2
，代数重数
k
=
5
k=5
k
=
5
，则可将5分为2组，可以为
S
1
=
3
，
S
2
=
2
S_{1}=3，S_{2}=2
S
1
=
3
，
S
2
=
2
。
公式：
V
S
1
−
1
=
−
(
λ
I
−
A
)
V
S
1
V
S
1
−
2
=
−
(
λ
I
−
A
)
V
S
1
−
1
V
1
=
(
−
1
)
S
1
−
1
(
λ
I
−
A
)
S
1
−
1
V
3
=
X
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
V_{S_{1}-1}=-(λI-A)V_{S_{1}}\\ V_{S_{1}-2}=-(λI-A)V_{S_{1}-1}\\ V_{1}=(-1)^{S_{1}-1}(λI-A)^{S_{1}-1}V_{3}=X_{1}\\ ………….
V
S
1
−
1
=
−
(
λ
I
−
A
)
V
S
1
V
S
1
−
2
=
−
(
λ
I
−
A
)
V
S
1
−
1
V
1
=
(
−
1
)
S
1
−
1
(
λ
I
−
A
)
S
1
−
1
V
3
=
X
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
我们先求出
S
1
S_{1}
S
1
组对应的三个列向量，
S
1
S_{1}
S
1
组以
X
1
X_{1}
X
1
为基向量，构建
V
3
，
V
2
，
V
1
V_{3}，V_{2}，V_{1}
V
3
，
V
2
，
V
1
，根据
(
−
1
)
S
1
−
1
(
λ
I
−
A
)
S
1
−
1
V
3
=
X
1
(-1)^{S_{1}-1}(λI-A)^{S_{1}-1}V_{3}=X_{1}
(
−
1
)
S
1
−
1
(
λ
I
−
A
)
S
1
−
1
V
3
=
X
1
得到最大下标的
V
3
V_{3}
V
3
（最高下标的
V
3
V_{3}
V
3
和最低下标的
V
1
V_{1}
V
1
才与
X
1
X_{1}
X
1
有直接关系），然后根据
V
2
=
−
(
λ
I
−
A
)
V
3
V_{2}=-(λI-A)V_{3}
V
2
=
−
(
λ
I
−
A
)
V
3
V
1
=
−
(
λ
I
−
A
)
V
2
=
X
1
V_{1}=-(λI-A)V_{2}=X_{1}
V
1
=
−
(
λ
I
−
A
)
V
2
=
X
1
得到
V
2
V_{2}
V
2
、
V
1
V_{1}
V
1
，同理得到
S
2
S_{2}
S
2
组下的两个列向量
W
2
W_{2}
W
2
、
W
1
W_{1}
W
1
，则Q=[
V
1
V_{1}
V
1
V
2
V_{2}
V
2
V
3
V_{3}
V
3
W
1
W_{1}
W
1
W
2
W_{2}
W
2
] 。
证明与例题详见
广义特征向量的构造
简易方法求广义特征向量
公式：
λ
1
P
1
−
A
P
1
=
0
λ
1
P
2
−
A
P
2
=
P
1
λ
1
P
3
−
A
P
3
=
P
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ_{1}P_{1}-AP_{1}=0\\ λ_{1}P_{2}-AP_{2}=P_{1}\\ λ_{1}P_{3}-AP_{3}=P_{2}\\ ………
λ
1
P
1
−
A
P
1
=
0
λ
1
P
2
−
A
P
2
=
P
1
λ
1
P
3
−
A
P
3
=
P
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Q=[
P
1
P_{1}
P
1
P
2
P_{2}
P
2
P
3
P_{3}
P
3
P
4
P_{4}
P
4
P
5
P_{5}
P
5
P
6
P_{6}
P
6
]